带有时变不确定性连续时间Takagi-Sugeno模糊系统的稳定性判据

李丽芳,孟庆元， 张 友

(1. 吉林警察学院 信息技术系,长春 130117；2. 吉林交通职业技术学院,长春 130012;3. 东北师范大学 计算机科学与信息技术学院,长春 130117)

非线性特性是工业系统中常见的物理特征,研究非线性系统的稳定性分析和控制设计问题具有重要的理论和应用价值. Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型[1]成功解决了非线性系统的建模问题,王立新等[2]证明了T-S模糊模型能以任意精度逼近定义在紧集上的连续非线性函数,从理论分析上赋予了T-S模糊模型进行非线性系统建模的合法性. 在早期基于T-S模糊模型的非线性系统稳定性分析研究中,均采用单Lyapunov函数系统稳定性条件设计,但由于这种单Lyapunov函数对于所有的模糊子系统使用一个单一的Lyapunov矩阵,因此得到的系统稳定性条件保守性较大,从而限制了T-S模糊模型在非线性系统稳定性分析领域内的应用[3-8]. 为减少所得稳定性条件的保守性,文献[4]提出了一种附件变量引入技术以减少稳定性判据的保守性. 文献[5-8]对上述附加变量引入技术进行了改进,但由于单Lyapunov函数本身固有的缺点,因此很难在本质上对稳定性结果的保守性进行改善,因而要进一步减少保守性就必须使用新的Lyapunov函数. 文献[9]提出了一种模糊Lyapunov函数,它能考虑更多关于模糊隶属函数的有用信息,显著减少了结果的保守性. 在此基础上,文献[10-14]也给出了基于模糊Lyapunov函数的模糊系统稳定性分析结果.

本文针对带有时变不确定性连续时间T-S模糊系统的稳定性分析问题,提出一种新的基于线性矩阵不等式(LMI)形式的稳定性判据. 为实现减少已有稳定性判据保守性的目标,设计了两种附加变量引入方法,使得在系统稳定性分析过程中能更有效地考虑模糊隶属函数的有用信息. 在此基础上,结合文献[15-16]的结果得到了比已有方法保守性更小的稳定性判据. 特别地,相关的已有结果可视为本文结果的一种特例.

1 预备知识

考虑如下由r条模糊规则描述的带有时变不确定性的连续时间T-S模糊系统[1]：如果ξ1(t)=M1i,…,ξp(t)=Mpi,则

(1)

其中:x(t)∈Rn为n维系统状态向量；ξ1(t),ξ2(t),…,ξp(t)为模糊模型前件变量；Mij(i=1,2,…,p;j=1,2,…,r)为模糊集；Ai∈Rn×n为模糊模型已知参数矩阵；ΔAi为模糊模型未知时变不确定参数矩阵,且满足如下范数有界条件:

ΔAi(t)=DF(t)Ei,FT(t)F(t)≤I, ∀t≥0;

(2)

其中:D和Ei为已知适当维数矩阵;F(t)为未知矩阵值函数.

根据T-S模糊推理方法,系统(1)的总体模糊模型可表示为

(3)

在已有采用模糊Lyapunov函数进行系统稳定性分析中,试图通过考虑模糊隶属函数随时间的导数信息减少所得稳定性判据的保守性,且常使用如下关于模糊隶属函数导数的假设条件.

假设1对于带有时变不确定性的连续时间T-S模糊系统(3),假设其模糊隶属函数的导数变换界满足如下条件[14]:

∀ξ(t), 1≤i≤r,

(4)

这里λi为模糊建模时确定的实数.

文献[10-14]给出了假设条件(4)在实际应用中的可获取性,并给出了具体问题φi的几种计算方法.

引理1[15]对于给定适当维数的矩阵Q=QT,H,E;满足FT(t)F(t)≤I(∀t≥0)条件的不等式Q+HF(t)E+(HF(t)E)T<0成立的充分必要条件是存在大于零的实数λ,使得

Q+λHHT+λ-1ETE<0

成立.

2 主要结果

为进一步减少已有基于模糊Lyapunov函数的不确定性T-S模糊系统稳定性判据的保守性,本文提出两种新的附加变量引入技术,将各模糊子系统间的相互耦合关系映射到一个增广大矩阵中,进而更有效地考虑模糊隶属函数的有用信息,以获得保守性更小的稳定性判据.

Pi+X>0,i=1,2,…,r;

(5)

(6)

(7)

(8)

其中:

则系统(3)是全局渐近稳定的.

证明: 为方便,下面证明中用x,hi代替x(t),hi(ξ(t)). 对系统(3)考虑如下模糊Lyapunov函数：

(9)

将V(x)沿系统(3)求时间导数可得

(10)

(11)

由式(11)可推出,若如下不等式成立,则系统(3)是全局渐近稳定的：

(12)

由式(2)可得

(13)

对式(13)使用引理1可得

(DF(t)E(t))TP(t)+P(t)DF(t)E(t)≤λ-1P(t)D(P(t)D)T+λE(t)(E(t))T.

(14)

于是,由式(12)～(14)可得系统(3)全局渐近稳定的充分条件是

(15)

进一步,由引理2可得矩阵不等式(15)等价于如下矩阵不等式:

(16)

将不等式(16)的左侧项进行重新编排,可得

(17)

此时,由不等式(6),(7)可得

若不等式(8)成立,则式(16)也成立,即带有时变不确定性的连续时间T-S模糊系统(3)是全局渐近稳定的.

3 仿真实验

考虑如下带有时变不确定性的连续时间T-S模糊系统：

(19)

系统(19)的矩阵参数为

ΔAi(t)=DF(t)Ei,i=1,2,3,4;

其中可变系统参数α用于比较定理1与已有文献结果间的保守性强弱关系.

下面使用Matlab的LMI工具计算在相同条件下,分别利用定理1和文献[14]的相应结果进行求解可变系统参数α的稳定区域范围. 这里,将假设1中的参数设定为φi=-2.6(i=1,2,3,4). 此时,用文献[14]相应结果计算的带有时变不确定性连续时间T-S模糊系统的稳定区域为α<160,而由本文方法计算的相应稳定区域为α<190. 可见,本文方法的系统稳定区域大于文献[14]的系统稳定区域,即本文所提出的稳定性判据具有更小的保守性.

选择α=160,该点在文献[14]的系统稳定判据中是不稳定点,但在本文的定理1中是稳定点,即只有使用定理1才能保证系统在α=160时是全局渐近稳定的.

给定系统初始值为x(0)=(1.6,-1.4)T,图1给出了系统(19)当α=160时状态轨迹随时间的变化曲线. 图2给出了系统(19)当α=160时两个状态x1(t)和x2(t)由初始状态点(1.6,-1.4)渐近趋向零点的变化轨迹. 由图1和图2可见,当初始条件为x(0)=(1.6,-1.4)T时,系统(19)在α=160处是渐近稳定的.

图1 当x(0)=(1.6,-1.4)T时系统 状态随时间的变化轨迹Fig.1 Trajectories of system state variation with time when x(0)=(1.6,-1.4)T

图2 当x(0)=(1.6,-1.4)T时系统 状态渐近趋向零点的轨迹Fig.2 Convergent trajectory of system state variation when x(0)=(1.6,-1.4)T

给定系统初始值为x(0)=(-0.8,0.6)T,图3给出了系统(19)当α=160时状态轨迹随时间的变化曲线. 图4给出了系统(19)当α=160时两个状态x1(t)和x2(t)由初始状态点(-0.8,0.6)渐近趋向零点的变化轨迹. 由图3和图4可见,当初始条件为x(0)=(-0.8,0.6)T时,系统(19)在α=160处也是渐近稳定的.

图3 当x(0)=(-0.8,0.6)T时系统 状态随时间的变化轨迹Fig.3 Trajectories of system state variation with time when x(0)=(-0.8,0.6)T

图4 当x(0)=(-0.8,0.6)T时系统 状态渐近趋向零点的轨迹Fig.4 Convergent trajectory of system state variation when x(0)=(-0.8,0.6)T

综上所述,本文给出了一种带有时变不确定性连续时间T-S模糊系统的稳定性新判据. 通过提出两种新的附加变量引入技术,在充分考虑模糊隶属函数的代数特性基础上,将各模糊子系统间的相互耦合关系映射到一个增广大矩阵,能显著减少所得系统稳定性判据的保守性. 由仿真实验结果可见,本文所提方法与已有结果相比具有更小的保守性.

[1] Takagi T,Sugeno M. Fuzzy Identification of Systems and Its Application to Modeling and Control [J]. IEEE Transactions on Syst Man Cybern,1985,15(1): 116-132.

[2] WANG Li-xin,Mendel J M. Fuzzy Basis Functions,Universal Approximation,and Orthogonal Least-Squares Learning [J]. IEEE Transactions on Neural Networks,1992,3(5): 807-814.

[3] Tanaka K,Ikeda T,Wang H O. Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers: Relaxed Conditions and LMI-Based Designs [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1998,6(2): 250-265.

[4] Kim E,Lee H. New Approaches to Relaxed Quadratic Stability Conditions of Fuzzy Systems [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2000,8(5): 523-534.

[5] LIU Xiao-dong,ZHANG Qing-ling. New Approaches toH∞Controller Designs Based on Fuzzy Observers for T-S Fuzzy Systems via LMI [J]. Automatica,2003,39(9): 1571-1582.

[6] Sala A,Arino C. Asymptotically Necessary and Sufficient Conditions for Stability and Performance in Fuzzy Control [J]. Fuzzy Sets and Syetms,2007,158(24): 2671-2686.

[7] Sala A,Arino C. Relaxed Stability and Performance Conditions for T-S Fuzzy Systems with Knowledge on Membership Function Overlap [J]. IEEE Transactions on Syst Man Cybern: Part B,2007,37(3): 727-732.

[8] Montagner V F,Oliveira R,Peres P. Convergent LMI Relaxations for Quadratic Stabilizability andH∞Control of Takagi-Sugeno Fuzzy Systems [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2009,17(4): 863-873.

[9] Tanaka K,Ohtake H,Wang H O. A Descriptor System Approach to Fuzzy Control System Design via Fuzzy Lyapunov Functions [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2007,15(3): 333-341.

[10] Lam H K,Leung F H F. LMI-Based Stability and Performance Conditions for Continuous-Time Nonlinear Systems in Takagi-Sugeno’s Form [J]. IEEE Transactions on Syst Man Cybern: Part B,2007,37(5): 1396-1406.

[11] Lam H K. Stability Analysis of T-S Fuzzy Control Systems Using Parameter-Dependent Lyapunov Functions [J]. IET Control Theory and Applications,2009,3(6): 750-762.

[12] ZHANG Hua-guang,XIE Xiang-peng. Relaxed Stability Conditions for Continuous-Time T-S Fuzzy-Control System via Augmented Multi-indexed Matrix Approach [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2011,19(3): 478-492.

[13] Tognetti E S,Oliveira R C L F,Peres P C. SelectiveH2andH∞Stabilization of Takagi-Sugeno Fuzzy Systems [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2011,19(5): 890-900.

[14] Mozeli L A,Palhares R M,Souza F O,et al. Reducing Conservativeness in Recent Stability Conditions of T-S Fuzzy Systems [J]. Automatica,2009,45(6): 1580-1583.

[15] Petersen I R,Hollot C V. A Riccati Equation to the Stabilization of Uncertain Linear Systems [J]. Automatica,1986,22(4): 397-411.

[16] Boyd S,Ghaoui L E,Feron E. Linear Matrix Ineuqalities in System and Control Theory [M]. Philadelphia: Society for Industrial Mathematics,1997.