一类混合型随机时滞偏微分方程解的存在唯一性

贾秀利,关丽红,王振华

(1. 吉林工商学院 基础部,长春 130062;2. 长春大学 理学院,长春 130022;3. 吉林大学 数学研究所,长春 130012)

0 引 言

考虑下列混合型随机时滞发展方程的系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii条件时解的存在唯一性:

dX(t)=AX(t)+F(X(t),X(t-τ),r(t))dt+G(X(t),X(t-τ),r(t))dW(t),x∈[0,T],

(1)

其满足初始条件

(2)

当随机偏微分方程的系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件时,方程的解存在唯一[1-5]. 但一些随机系统的系数并不满足线性增长条件,例如: 对于一些随机微分方程和随机时滞方程,Rafail[6]和Mao等[7]分别用Khasminskii型条件替代线性增长条件得到了方程解的存在唯一性;Bao等[8]研究了一类带跳扩散的随机偏微方程的系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件时解的存在唯一性;Bao等[9]研究了混合型随机热方程的Lyapunov指数. 本文研究混合型随机时滞偏微分方程解的存在唯一性,并用实例验证了理论结果.

E〈W(t),x〉〈W(s),y〉=(t∧s)〈Q1/2x,Q1/2y〉K, ∀x,y∈K,

其中Q是K上的正自伴迹算子[2]. 令R+∶=[0,∞),N是正整数. 再令{r(t),t∈R+}是在概率空间(Ω,Ft,{Ft}t≥0,P)上取值于有限状态空间S∶={1,2,…,N}内的右连续Markov链,它的生成元Γ∶=(γij)N×N为

1 主要结果

假设：

(H1)A是C0半群T(t)(t>0)的无穷小生成元,并且是一个无界算子;

(H2) 映射F:H×H×S →H,G:H×H×S → L(H,K)是Borel可测的,并且满足局部Lipschitz 条件,即对于每个h>0,都存在一个常数Lh>0,使得对于所有的x1,x2,y1,y2∈H及‖xi‖H∨‖yi‖H≤h(i=1,2),有

定义1如果下列条件成立,则随机过程{X(t),t∈[0,T]}(0≤T≤∞)称为方程(1)的解:

1)X(t)是Ft适应的,并且当t≥0时,以概率1有Cdlg路径;

以概率1成立.

1)U(x,i)关于x是二次(Fréchet)可微的;

2)Ux(x,i)和Uxx(x,i)分别在空间H和L(H,H)上连续.

引理1假设U∈C2(H;R+),{X(t),t≥0}是方程(1)的解,则当t≥0时,

其中: ∀x,y∈H,i∈S;算子

定理1假设(H1),(H2)成立,并且下列Khasminskii型条件成立: 假设存在一个函数U∈C2(H×S;R+)及一个正常数l,使得

LU(x,y,i)≤l(1+U(x)+U(y)), (x,y)∈H×H,

并且

证明: 由于方程(1)的系数关于(x,y,i)满足局部Lipschitz条件,所以方程(1)在极大区间t∈[-τ,σ∞)内存在唯一的局部解x(t),其中σ∞是爆破时间. 则只需证明σ∞=∞. 对任意的正数k≥1,定义停时τk=σ∞∧inf{t∈[0,τ∞): |x(t)|≥k}. 蕴含着τk随k增加.

利用标准截断技术[10],定义

对于x,y∈H,r∈S,Fk(x,y,r),Gk(x,y,r)是全局Lipschitz的,则下述随机偏微分方程在区间[-τ,τk)内存在唯一解:

dXk(t)=AXk(t)+Fk(Xk(t),Xk(t-τ),r(t))dt+Gk(Xk(t),Xk(t-τ),r(t))dW(t),t∈[0,T],

(3)

且满足初始条件:

(4)

由Khasminskii型条件,可得

其中

由Gronwall不等式,可得

EU(Xk(t∧τk))≤(C+lt)e2lt.

进一步,有

P(τk≤t)≤E(U(Xk(τk)Iτk≤t)≤(C+lt)e2lt.

则

令k→ ∞,可得 P(τ≤t)=0. 由t的任意性,可得 P(τ=∞)=1. 证毕.

例1考虑带扩散的随机时滞偏微分方程:

(5)

对于所有的(x,y,i)∈H×H×S,令

并且

再令

则

其中l是一个常数. 则由定理1知,方程(5)存在唯一全局解.

[1] CHOW Pao-liu. Stochastic Partial Differential Equations [M]. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC,2007.

[2] Prato G,Da,Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions [M]. Cambridge: Cambridge University Press,1992.

[3] LIU Kai. Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications [M]. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC,2005.

[4] Peszat S,Zabczyk J. Stochastic Partial Differential Equations with Lévy Noise: An Evolution Equation Approach [M]. Cambridge: Cambridge University Press,2007.

[5] Claudia P,Michael R. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations [M]. Berlin: Springer,2007.

[6] Rafail K. Stochastic Stability of Differential Equations [M]. Aeidelberg: Springer,1980.

[7] MAO Xue-rong,Rassias M J. Khasminskii-Type Theorems for Stochastic Differential Delay Equations [J]. Stoch Anal Appl,2005,23: 1045-1069.

[8] BAO Jian-hai,Truman A,YUAN Cheng-gui. Almost Sure Asymptotic Stability of Stochastic Partial Differential Equations with Jumps [J]. SIAM J Control Optim,2011,49(2): 771-787.

[9] BAO Jian-hai,MAO Xue-rong,YUAN Cheng-gui. Lyapunov Exponents of Hybrid Stochastic Heat Equations [J]. Systems Control Lett,2012,61(1): 165-172.

[10] Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications [M]. 2nd ed. Dover: Dover Pulications,2006.