复合随机振动系统的动态可靠性分析*

王倩倩，张义民，王一冰，吕 昊

（东北大学机械工程与自动化学院 沈阳，110819）

引 言

在实际工作过程中，结构受到的激励往往是不确定的随机载荷，结构自身的参数又具有随机性。随机载荷与随机参数会引起结构在工作过程中响应的随机性，当响应超过界限值时会引起功能的失效或是结构的破坏，因此研究随机结构在随机激励下的响应及超限的可靠性问题是必要的。对于结构随机响应的可靠性分析主要有3方面的内容：a.结构的响应超过某个界限值引起的破坏；b.结构的固有频率接近系统的激振频率引起的共振从而导致系统失效；c.结构在随机振动下产生的损伤积累破坏，即疲劳失效。林家浩等［1，2］研究的虚拟激励法极大地方便了复杂线性系统在随机激励下的响应分析，并指出与精细时程积分［3］相结合的虚拟激励法是解决线性系统随机激励振动分析的有效方法，能够应用于工程实际中复杂系统的求解。吴震宇等［4］利用虚拟激励法结合等效线性化方法解决了轴系扭纵耦合非线性随机振动的首超破坏可靠性问题。张义民等［5－7］利用摄动法、四阶矩方法与可靠性分析的Edgeworth级数相结合，分析了线性与非线性随机结构的各种随机振动问题，但没有考虑激励为随机过程的情况。Gupta等［8，9］使用随机过程的三角级数表示形式，利用改进的响应面法分析了非高斯随机激励下的随机结构系统的振动响应问题。文献［10，11］利用路径积分法研究了非线性振动系统在winner过程激励下的响应概率密度问题，方法简便并获得了比较精确的结果，但没有考虑结构的随机性问题。陈建兵等［12－14］利用概率密度守恒原理发展的概率密度演化方法解决了复合随机振动的概率演化和可靠性问题。

对于机械结构系统的随机振动，当振动幅度过大时会引起基体振动和噪声，甚至引起自身或者与之相连接的机械零部件的破坏；因此当机械结构的随机振动振幅超过设计值时，认为此系统不可靠，并以此为依据进行可靠性计算与分析。由于复合随机振动问题中包含结构参数随机性载荷的时变随机特性，很难精确计算其瞬态响应的可靠性。以往的振动可靠性分析中假设超越率服从泊松过程或两态马尔科夫过程，由此带来一定的计算误差。一些计算采用最大值不超越极限的方法计算可靠度，此方法很难体现系统的时变特性。

随机过程的精确表示形式为Karhunen－Loève分解，笔者从随机过程的 K－L分解出发，结合Gauss－Legendre精细时程积分方法，将随机过程分解为与精细积分的时间段相同的以Legendre积分节点为时间点的一系列时域确定性函数与独立随机变量相组合的形式，计算随机结构系统的时域响应过程。结合点估计法计算响应随机过程各时间点的统计矩，从而计算响应的动态可靠度。

1 随机过程的K－L分解

当一个随机过程的协方差函数已知时，通常使用Karhunen－Loève分解将其表示为随机变量与确定性时间函数相组合的形式。设随机过程f（t），其Karhunen－Love分解为

其中：ξj为独立的标准正态随机变量；f（0）（t）为随机过程的均值。

其中：φj和λj由式（3）求得。

在满足计算精度的前提下，将式（1）进行截断处理，截断至N项，得到f（t）的近似值为

若将时间节点tk取为Legendre积分节点，计算出在各Legendre积分节点的载荷值，用于基于Legendre积分节点的精细时程积分。

2 随机振动问题

2.1 复合随机振动问题的统计矩

对于一个n自由度的线性随机振动系统，可将系统表示为微分方程组

其中：f（t）为一随机过程向量。

由于fi（t）可以分解为一系列确定性时间函数与标准随机变量ξ乘积的和的形式。设随机结构参数向量为θ，则随机响应Y可表示为Y（ξ，θ，t），式（5）可写为

对于线性结构系统，系统的响应Y可以表示为

其中：Y（0）（t）和Y（j）（t）分别为系统在确定性载荷f（0）（t），f（j）（t）和随机结构参数θ下的响应，为一系列的随机过程。

于是原随机振动系统响应的求解可以转化为随机结构系统在一系列确定性载荷下的随机响应的随机组合。

由于随机结构参数θ与表示随机载荷过程的随机变量ξ之间为相互独立的关系，定义仅考虑结构的随机性，确定时间函数激励下的各响应分量的第l阶原点矩为

考虑随机载荷过程的随机变量ξ，随机响应的各阶中心矩分别为

经过公式推导，将表示随机激励的随机变量与随机结构变量分离开来。经过化简，只需求出各随机响应Y（j）（t）的响应的各阶统计矩，便可求得总体响应的各阶统计矩，而Y（j）（t）的响应的各阶统计矩只与结构的随机参数有关，因此可以利用随机结构可靠性计算方法进行下一步计算。

2.2 Legendre积分节点精细时程积分

将随机微分方程写成状态函数形式

在求解状态方程时，将时间t离散为间隔Δt的时间点，ti＝iΔt（i＝0，1，2，…），根据常微分方程理论得到状态方程的一般解为

其中：T＝eHΔt，根据文献［3］计算。

将K－L分解带入式（11）右边第2项，得到

由于f（j）（τ）的Legendre积分节点的值已知，很容易用Gauss－Legendre积分求得式（11）右边第2项的值，从而得到微分方程组的解。

2.3 降维－点估计法

对于多结构随机参数系统，每一时刻的v（j）i由随机结构参数向量θ决定，将其进行降维分解得到

点估计法是一种较精确且简便的用于估算响应函数统计矩的方法，具体算法见文献［15］。将随机变量在相应抽样点取值，在每个时间节点计算响应的各阶统计矩，求得随时间变化的统计矩。

3 随机振动系统的可靠性

超越破坏问题的极限状态方程为

其中：G为门槛值；Y为系统的响应变量。

当响应值超越门槛值时，系统失效，即为超越破坏问题。极限状态方程的前4阶中心矩如式（13）～（16）所示

其中：E［］为随机变量的数学期望；σ2［］为随机变量的方差；V3［］为随机变量的三阶中心矩；V4［］为随机变量的四阶中心矩。

可靠度表示为

其中：F（）为正态分布随机变量的累积概率密度函数。

求得系统随时间变化的瞬态可靠性，可以反映系统在某一时刻超越门槛值的概率，反映了系统的时危险点。在实际的工程应用中，动态系统的可靠度受其之前时刻的影响，整体来说，是一个单调下降过程，引入平均累积可靠度［16］，可用式（19）求得

其中：R（t）为在时刻t系统的平均可靠度；N为时间离散总样本点数；Ri（t）为式（18）求得的系统瞬态可靠度。

计算随机激励下随机参数结构的动态可靠性问题可以通过以下步骤求得。

1）将随机激励在Gauss－Legendre积分节点处进行Karhunen－Loève分解，得到一系列确定性时间函数与标准正态随机变量相组合的形式。

2）建立基于降维法点估计的样本。每一个结构随机参数分别在估计点处取值，此参数之外的其他参数在均值处取值，形成一个样本｛μ1，…，μm－1，θmq，μm＋1，…，μn｝，若结构系统有n个随机结构参数，并且估计点q为7个，就有7×n个计算样本。

3）利用精细积分算法计算每一个样本在各阶确定性时间载荷下的响应，并利用点估计法求各阶响应的统计矩

5）利用式（13）～（18）计算响应的动态可靠度。

6）利用式（19）计算系统累积平均可靠度。

4 数值算例

4.1 单自由度系统平稳随机激励下的可靠性

对于如图1所示的单自由度随机结构系统，其运动微分方程为

其中：m，c，k的均值和标准差分别为［100kg，240N·s／m，400N／m］，［5，12，20］；槛值为正态分布的随机变量；激励F（t）为一平稳随机激励，均值为1kN；（t）＝F（t）－E［F（t）］均值为零，具有与F（t）相同自相关函数

使用本研究方法对此振动系统进行求解，将随机载荷进行Karhunen－Loève分解，得到各确定性时间函数的响应。图2列出了当j＝80，75，70，65时的确定响应，可以看出系统对各阶确定性时间函数的响应随j的增大而增大；因此当分解得到的确定性时间函数较多时，可以忽略较低阶的响应以简化运算。

图1 单自由度振动模型

求得瞬态可靠度及累积可靠度曲线并与Monte Carlo模拟10 000次的对比如图3，4所示。可见，本研究方法具有较高的计算效率和计算精度。

图2 j＝80，75，70，65时系统响应

图3 响应可靠度随时间瞬态变化曲线及与Monte Carlo方法对比

图4 响应可靠度随时间累积曲线及与Monte Carlo方法对比

4.2 多自由度系统非平稳随机激励的动态可靠性

图5为简化的多层剪切结构系统。考察其在基础运动激励状态下的动态响应可靠性问题，当位移响应x1（t），x2（t），x3（t）中最大响应超越极限值时，系统不可靠。

结构随机参数向量为［m1，m2，m3，k1，k2，k3，c1，c2，c3］，均服从变异系数为0.05的正态分布，均值分别为［200kg，200kg，200kg，6×104N／m，6×104N／m，6×104N／m，1.5×103N·s／m，1.5×103N·s／m，1.5×103N·s／m］。随机激励ag（t）的均值为零，相关函数与上例相同，ωg＝5rad／s，ηg＝0.06，S0＝100m2／s3。

通过编程求解结果与Monte Carlo方法模拟10 000次的结果对比如图6～7所示。可以看出，本研究方法具有较高的计算精度。

图5 多层剪切结构模型

图6 响应可靠度随时间瞬态变化曲线及与Monte Carlo方法的对比

图7 响应可靠度随时间累积曲线及与Monte Carlo方法对比

5 结束语

针对随机过程激励下的随机结构的动态可靠度的求解计算过程复杂、消耗成本较大的问题，提出了将随机过程的Karhunen－Love分解与基于Gauss－Legendre积分公式的精细时程积分相结合的方法。利用点估计方法，考虑随机结构参数与随机载荷相互独立的关系，求得总响应的统计矩。用可靠性分析的高阶标准化方法求得系统的动态可靠度。系统动态可靠度的求解不再局限于首次超越的失效问题，而是能够显示具体的失效时刻，从而在工程实际中加以避免。具体实例的分析和与Monte Carlo方法的比较表明，本研究方法能有效解决复合随机振动系统的动态可靠性分析问题。

［1］ 林家浩，沈为平，宋华茂，等.结构非平稳随机响应的混合型精细时程积分［J］.振动工程学报，1995（2）：127－135.Lin Jiahao，Shen Weiping，Song Huamao，et al.Highprecision integration of mixed type for analysis of nonstationary random response［J］.Journal of Vibration Engineering，1995（2）：127－135.（in Chinese）

［2］ 林家浩，张亚辉.随机振动的虚拟激励法［M］.北京：科学出版社，2004：42－44.

［3］ 钟万勰.结构动力方程的精细时程积分法［J］.大连理工大学学报，1994（2）：131－136.Zhong Wanxie.On precise time－intergration method for structral dynamics［J］.Jouranl of Dailian University of Technology，1994（2）：131－136.（in Chinese）

［4］ 吴震宇，袁惠群.随机载荷下内燃机轴系动力可靠性分析［J］.振动、测试与诊断，2010（5）：534－538.Wu Zhenyu，Yuan Huiqun.Dynamic reliabil ity analysis of engine shafting under random loads［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2010（5）：534－538.（in Chinese）

［5］ 张义民，刘巧伶，闻邦椿.单自由度非线性随机参数振动系统的可靠性灵敏度分析［J］.固体力学学报，2003（1）：61－67.Zhang Yimin，Liu Qiaoling，Wen Bangchun.Reliability sensitivity analysis of single degree－of－freedom nonlinear vibration systems with random parameters［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2003（1）：61－67.（in Chinese）

［6］ 张义民，刘巧伶，闻邦椿.非线性随机系统的独立失效模式可靠性灵敏度［J］.力学学报，2003（1）：117－120.Zhang Yimin，Liu Qiaoling，Wen Bangchun.Sensitivity of reliability in nonlinear random systems with independent failure modes［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2003（1）：117－120.（in Chinese）

［7］ 张义民，张旭方，赵薇，等.相关失效模式多自由度随机滞回系统可靠性分析［J］.自然科学进展，2008（4）：441－448.Zhang Yimin，Zhang Xufang，Zhao Wei，et al.Reliability analysis of mdof uncertain hysteretic systems with dependent failure modes［J］.Progress in Natural Science，2008（4）：441－448.（in Chinese）

［8］ Gupta S，Manohar C S.Improved response surface method for time－variant reliability analysis of nonlinear random structures under non－stationary excitations［J］.Nonlinear Dynamics，2004，36（2－4）：267－280.

［9］ Gupta S，Manohar C S.An improved response surface method for the determination of failure probability and importance measures［J］.Structural Safety，2004，26（2）：123－139.

［10］Iourtchenko D V，Mo E，Naess A.Response probability density functions of strongly non－linear systems by the path integration method［J］.International Journal of Non－Linear Mechanics，2006，41（5）：693－705.

［11］Naess A，Moe V.Efficient path integration methods for nonlinear dynamic systems［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2000，15（2）：221－231.

［12］陈建兵，李杰.随机结构复合随机振动分析的概率密度演化方法［J］.工程力学，2004（3）：90－95.Chen Jianbing，Li Jie.The probability density evolution method for compound random vibration analysis of stochastic structures［J］.Engineering Mechanics，2004（3）：90－95.（in Chinese）

［13］陈建兵，李杰.随机荷载作用下随机结构线性反应的概率密度演化分析［J］.固体力学学报，2004（1）：119－124.Chen Jianbing，Li Jie.Probability density evolution of linear stochastic strutural response［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2004（1）：119－124.（in Chinese）

［14］Chen Jianbing，Li Jie.Dynamic response and reliability analysis of non－linear stochastic structures［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20（1）：33－44.

［15］Zhao Yangang，Tetsuro O.New point estimates for probability moments［J］.Journal of Engineering Mechanics，2000，126（4）：433－436.

［16］张义民，张旭方.复合随机Duffing系统可靠性分析［J］.物理学报，2008（7）：3989－3995.Zhang Yimin，Zhang Xufang.Reliability analysis of double random puffing system［J］.ACTA Physica Sinica，2008（7）：3989－3995.（in Chinese）