迈克耳孙干涉实验条纹计数方法的改进

黄 丽，方光宇，宋云飞，辛 丽，赵海发

（哈尔滨工业大学 物理系，黑龙江 哈尔滨150001）

1 引 言

迈克耳孙干涉实验是大学物理实验中一个重要的教学题目［1］.在该实验的教学过程中，学生不但可以对非定域干涉有进一步的理解和掌握，而且可以对等厚和等倾干涉现象分别进行观测研究.通过对非定域干涉条纹移动情况（“缩进”或者“冒出”）进行实验测量，可以对激光波长、介质折射率等物理参量进行精确标定［2-6］.在目前的迈克耳孙干涉实验教学中，普遍采用玻璃屏接收干涉条纹，通过目测干涉条纹中心光斑亮度的变化情况来测量干涉条纹的变化数目.当干涉圆环中心由1个亮斑刚好变化到下1个光强相同的亮斑，即认为迈克耳孙干涉条纹刚好变化了1个级次.学生在实验过程中，经常会因为缺乏实验经验或者视觉疲劳而出现计数错误，给实验测量带来误差.为此，实验教学中往往需要学生进行大量（对几十级至几百级干涉条纹的变化级次进行计数）重复性的测量.大量的重复性测量降低了学生们对“精准的”迈克耳孙干涉实验的学习兴趣和求知欲望.

近年来，人们一直在试图利用光电传感器和模-数信号转换、采集及滤波技术来精确记录迈克耳孙干涉条纹的快速变化过程［7-10］.本文提出了可以精确测量迈克耳孙干涉条纹变化数目的实验方法，即采用与示波器连接的快速响应光电二极管来测量并记录迈克耳孙干涉条纹的快速变化过程.利用这种方法，测量研究空气折射率，结果表明这种方法可以使得干涉条纹变化数目的实验测量精度达到0.1级条纹.实践证明，这种方法不但可以很好地消除迈克耳孙干涉条纹人工计数中存在的误差，而且普遍适用于目前的大学物理实验课堂教学.

2 实验装置及原理

图1 迈克耳孙干涉法测量空气折射率的实验装置及光路示意图

如图1所示，实验采用双光束分振幅迈克耳孙干涉光路.He-Ne激光器的输出光经过短焦透镜L1（焦距为5cm）和长焦透镜L2（焦距为175cm）扩束后，被分光板S的后表面分为透射光和反射光2部分.在透射光路中，放置用于补偿光程的补偿板C；在反射光路中，放置一长度为8cm的空气室.空气室中空气的压强在大气压的基础上可以从0连续增加到4.0×104Pa，具体的压强差值可以从空气室连接的压强表头读出.反射光和透射光分别经平面反射镜R1和R2反射后，再经分光板S合并.精调光路，使得2束光在空间上重合，并得到清晰且适合于实验测量的干涉圆环，然后将光电二极管（型号：PDA36AEC；生产公司：Thorlab，USA）放置在干涉圆环的中心，并用同轴电缆将光电二极管连接到可存储数字示波器.

实验过程中，首先将空气室中空气的压强增加Δp（取值范围为1.3×104～4.0×104Pa），然后将放气针孔稍微打开，让空气室内压强缓慢降低至大气压.在此过程中，干涉圆环随着空气室内压强的下降而逐渐向内“缩进”或者向外“涌出”直至稳定不变.相应地，干涉圆环中心位置处的光电二极管感应该位置光强的变化，示波器实时地记录并显示光电二极管转换输出电压大小随时间变化的曲线.由此，测量得到干涉条纹总的变化数目m，则Δp所引起的空气折射率改变量Δn可以写作［11］：

进而，在压强Δp不太大的情况下，常温常压状态下空气的折射率为［9］：

在（1）～（2）式中，l为空气室长度，λ为 He-Ne激光器输出激光波长，pamb为大气压.

3 实验研究结果和分析

空气压强 Δp 分别从1.9×104，2.5×104，3.2×104，3.9×104Pa缓慢恢复至大气压状态的过程中，实验测量得到的干涉条纹中心位置处光强随时间的变化过程如图2所示，图2中纵轴代表干涉圆环中心处光电二极管转换输出的电压.从图2可以看出，干涉条纹数目的变化量随着空气压强的减小而减少；对于某一空气压强Δp，干涉条纹数目变化速度随着压强降低而逐渐降低，且干涉条纹中心光强相应转换电压的变化规律可以用三角函数表示：

其中，¯U为输出电压平均值，则输出电压最大值、最小值可分别写作Umax＝¯U＋UA，Umin＝¯U-UA；ΔL为光程差的改变量，对应的条纹变化数目记作m，则ΔL＝mλ；φ0为初始相位.目测干涉条纹变化数目时，通常将干涉条纹中心调节成“亮斑”（初始相位为零）.本实验中，同样也将目测的“中心亮斑”作为初始状态.从图2可以看出，目测“亮斑”对应光强的转换输出电压并不一定是输出电压的最大值.可见，用目测光斑亮度变化来进行干涉条纹计数确实存在一定的误差.

图2 空气从不同压强Δp恢复到大气压状态过程中，干涉条纹中心光强变化曲线

以图2（d）所示的迈克耳孙干涉条纹中心光强变化曲线为例，利用（3）式计算得到干涉条纹变化的总数目m：

其中，m0为初始时刻输出电压U0与相邻输出电压平均值A点之间的干涉条纹变化数目；mAB为输出电压平均值A点和B点之间的干涉条纹变化数目，其值为正整数或者半正整数；mt为终止时刻（气压平衡状态）输出电压Ut与相邻输出电压平均值B点之间的干涉条纹变化数目.m0和mt可以分别利用下面2个公式计算得到：

将实验测量得到的m及相应的空气压强值Δp分别代入式（2），可以计算得出空气折射率.其中，He-Ne激光输出波长λ取值632.8nm，大气压pamb取值1.013×105Pa，空气室长度l取值8.00×10-2m.表1列出了在不同空气压强情况下，本文方法和目测方法分别测量得到的干涉条纹变化总数m，m′及计算得到的空气折射率n，n′.常温常压状态下，对于可见光波长范围的光，由经验公式计算得到的空气折射率的标准值为n0≈1.000 27［12］.

表1 实验测量得到的空气压强、干涉条纹变化总数及空气折射率

在空气折射率的计算公式（2）中，如果把激光波长λ、大气压pamb和空气室长度l均看作常量，那么空气折射率的测量误差就来源于干涉条纹变化总数m和空气压强Δp的测量.从表1中列出的数据可以看出，本文根据光强变化曲线确定相位变化情况，进而测量得到干涉条纹变化总数的方法可以使条纹计数精度达到0.1级条纹.根据式（1），对于某一确定的空气压强（如 Δp＝2.5×104Pa），由此引起的测量误差可以表示为：

由于初始时刻与终止时刻干涉条纹中心处所对应的光强变化在目测情况下是难以分辨的，所以目测干涉条纹变化总数的精度通常为0.5级条纹.为了便于比较，仍以Δp＝2.5×104Pa为例，相应的测量误差则为

从（7）式的计算结果可以看出，同传统的目测方法相比，本文提出的测量方法可以将干涉条纹变化总数的测量精度提高1个数量级.需要指出的是，本实验研究中空气压强Δp采用普通的指针式气压计测量得到，其最小分度值为5.3×102Pa，相应的仪器误差Δ仪＝3.1×102Pa.此外，放气过程中空气室两端玻璃片的微小形变会造成空气室长度l的变化，也会给研究结果带来一定的误差.

4 结束语

本文采用与数字存储示波器相连接的快速响应光电二极管作为探测器，测量迈克耳孙干涉圆环中心条纹变化数目.根据示波器记录的光电二极管转换电压随时间变化曲线，可以得到相位变化情况并精确测量得到空气压强变化过程所造成的干涉条纹数目变化量，进而精确确定空气的折射率.本测量方法所需主要实验仪器均为实验室通用仪器设备，因而普遍适用于大学物理实验的实际教学.更为重要的是，这种方法将学生从“繁琐”且“粗糙”的目测干涉条纹变化数目中解放出来，有助于学生对迈克耳孙干涉物理思想和精密测量方法的研究性学习，从而更好地激发学生对物理实验的学习兴趣和创新意识.

［1］戴斌飞，武文，任建锋.用ZEMAX软件辅助迈克耳孙干涉仪实验教学［J］.大学物理，2008，27（7）：28-33.

［2］肖井华，红建强.干涉法测空气折射率的一点改进［J］.大学物理，1993，12（4）：32.

［3］卢丹勇，刘长江，周惠君，等.用M-Z干涉仪对空气折射率的定量测量与理论探讨［J］.物理实验，2006，26（12）：40-43.

［4］张金平，张庆荣，赵魁芳.空气折射率测量实验的改进［J］.实验室科学，2009，（4）：86-87.

［5］王小怀，李卓凡，陈怀.迈克耳孙干涉仪应用功能的扩展［J］.物理实验，2012，32（3）：22-24.

［6］王中林.多功能干涉测量实验装置［J］.物理实验，2012，32（10）：32-34.

［7］杨蓉，朱桂荣，屠传士.利用计数装置来记录迈克尔孙干涉仪干涉条纹的变化数［J］.物理实验，1994，16（1）：43.

［8］杨俊才，杨连贵，姚维山.用迈克尔孙干涉仪测量位移的精度改进［J］.物理实验，1995，17（2）：80.

［9］许伯强，王纪俊.用现代技术设备改善迈克尔孙干涉仪的性能［J］.物理实验，1998，19（4）：10-14.

［10］赵忠伟，陈鹏，孙中涛，等.迈克尔逊干涉环自动计数装置设计［J］.光电技术应用，2009，24（6）：36-50.

［11］耿完桢，赵海发，金恩培，等.大学物理实验 ［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：209-216.

［12］Penndorf R.Tables of the refractive index for standard air and the Rayleigh scattering coefficient for the spectral region between 0.2and 20.0μm and their application to atmospheric optics［J］.Journal of the Optical Society of America，1957，47（2）：176-182.