基于提升小波变换的图像去噪方法研究

张亚飞 冯小华

（中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙 410012）

图像去噪问题一直都是图像处理领域的研究重点， 噪声的干扰往往会严重影响图像的质量，给后续的图像分析及应用带来极大的不便，为此研究者们一直在寻求一种既能有效地减小噪声，又能很好地保留图像重要特征的去噪方法。 与传统的小波变换去噪方法相比， 提升小波变换以其独特的算法结构，降低了计算复杂度, 易实现整数到整数的变换等特点，成为小波研究与应用领域新的热点。

1 小波变换

小波分析是一种信号的时频分析方法，它具有实时、多分辨率、自适应等特点，在时频两域都具有很强的表征信号局部特征的能力，因而在图像去噪领域中得到了广泛的应用。

小波一词由Morlet 和Grossman 在1980 年代早期提出。传统的小波通常是由定义在L2(R)空间上的容许函数ψ（t）经过伸缩、平移变换生成的，这种小波通常被称为第一代小波，其基本定义如下：

如果ψ（t）是一满足条件的基小波或母小波，将其经过伸缩和平移变换后，就可得到一簇函数，形式如下

此函数被称之为小波函数簇， 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 进而定义下式

为关于基小波ψ 的连续小波变换。 其中，ψ*（t）表示对ψ（t）的共轭运算。

2 提升小波变换

通过以上分析， 传统的第一代小波变换是在欧氏空间内通过基底的平移和伸缩来构建小波基的，这种变换虽然克服了傅立叶变换所存在的固定分辨率、难以同时兼具时频分解特性等问题，但其本身也存在着算法复杂度高、占用内存大、浮点运算误差大、不利于硬件实现等缺点。 为此，1995 年Sweldens 提出了一种不依赖于傅里叶变换的新的小波构造方法—提升方法，称为第二代小波变换。

第二代小波提升算法基本思想是通过一个预测算子，确定高频信息，并初步确定低频信息；然后通过更新算子，对初步确定的低频进行修正，从而确定低频信息。 基于提升方案的第二代小波变换过程可分为三个阶段：分解(Split)、预测(Predict)和更新(Update)。

（1）分解：将输入信号sj分为2 个较小的子集sj-1和dj-1。最简单的办法是将输入信号sj根据奇偶性分为2 组，这种分解方法所产生的小波也称为“懒小波”，数学表达式描述如下：

（2）预测：在基于原数据相关性的基础上，用偶数序列sj-1的预测值P（sj-1）去预测奇数序列dj-1，然后用dj-1与预测值P（sj-1）的差来替换dj-1。 用数学公式描述如下

式中为预测算子， 一般可以通过差值细分方法构造。 这样，产生的dj-1比原来的dj-1包含更少的信息，继续用更小的子集sj-1和dj-1来代替原来的信号集sj， 重复分解和预测过程，最终原始信号集可以用｛sn，dn，……，s1,d1｝来表示。

（3）更新：更新的思想主要是要构造一个算子U，利用小波子集dj-1对sj-1进行更新， 从而使sj-1继续保持原来数据序列的某些特征。 数学公式描述如下

此外，小波提升变换过程是可逆的，只需改变式（3）（4）（5）的计算次序和符号就可以得到重构的数据序列。

3 实例分析

在Matlab（R2010b）环境下，以woman 为原始图像进行仿真实验，分别利用传统小波变换和本文所介绍的提升小波变换对含噪图像进行处理，仿真结果如图1 所示。

图1 提升小波变换图像去噪效果图

4 结论

仿真实验结果可见， 基于提升小波变换的图像去噪效果与传统小波变换相当， 但考虑到提升小波变换运算复杂度低、实现过程简单快速等优点，以较小的代价实现了预期的处理效果， 这无疑验证了基于提升小波变换的图像去噪方法的优越性。 同时，针对提升小波变换的实现过程，我们可以看到数学理论方法的改进对于提高运算效率的重要性，可以预见在小波分析领域，根据实际情况合理选择先进的数学变换方法，对于实现问题最优化解的重要意义。

[1]张德丰，等.MATLAB 小波分析[M].北京:机械工业出版社，2011

[2]赵庆光.基于提升小波变换的图像去噪算法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2009

[3]林祥云.基于提升小波变换的图像去噪[D].武汉：武汉纺织大学，2010