曲线上的预制梁桥相邻墩台轴线与中心连线夹角的计算研究

刘和平 徐咏梅

（河南省交通规划勘察设计院有限责任公司，河南 郑州 450052）

位于曲线上的预制梁桥，在平面设计时，通常采用二种方式布设桥墩台，即各墩台轴线与墩中心的法线呈相等角度(简称法线法，后同)和各墩台轴线间皆相互平行(简称平行法，后同)的方法。设计时，通常是提供出墩台轴线上的2点坐标，施工时根据坐标进行找点，放线出墩台轴线。本文通过计算，给出墩台轴线与后视墩台中心点连线的夹角，施工时利用已放好线的中桩，将经纬仪或全站仪放在所在墩台中心，后视(或前视)相邻墩台的中心，通过拨偏角的方法直接找出所在墩台的轴线。

如上图，以曲线起点为坐标原点，以起点的切线方向为X轴，以起点的法线方向为Y轴建立坐标系，以此来进行分析、计算：

一法线法布墩台时（图一）

图一中，A、B分别为相邻墩台的中心点，C点为A、B连线与X 轴交点，θ1 为AB 与X 轴的夹角；D 点为B 点的切线与X 轴交点，θ2为BD与X轴的夹角；β为墩台轴线与法线的夹角（每墩台相同且为已知）；φ即为本文所要求出的、墩台轴线与后视相邻墩台中心连线的夹角。

A、B点的坐标计算

A、B 两点的桩号是已知的，即A、B 两点至原点的曲线长度La、Lb 是已知的，假设A、B 两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则：

1）当位于圆曲线上时：

A点：

ε=La/R(ε：A点切线与X轴的夹角；R：圆曲线半径，R为已知)

L0=2Rsin(ε/2)(L0：A点至原点的直线距离)

X1=L0cos(ε/2)=2Rsin(ε/2)cos(ε/2)=Rsinε

y1=L0sin(ε/2)=2Rsin2(ε/2)

B点：

θ2=Lb/R

L0=2Rsin(θ2/2)

X2=L0cos(θ2/2)=2Rsin(θ2/2)cos(θ2/2)=Rsinθ2

Y2=L0sin(θ2/2)=2Rsin2(θ2/2)

2）当位于缓和曲线上时：

A点：

RA=A2/La(RA：A点的曲率半径；A：缓和曲线的参数，A为已知)

X1=La-La3/(40RA2)＋La5/(3456RA4)

y1=La2/(6RA)-La4/(336RA3)＋La6/(4224RA5)

B点：

RB=A2/La(RB：B点的曲率半径)

X1=Lb-Lb3/(40RB2)＋Lb5/(3456RB4)

y1=La2/(6RB)-Lb4/(336RB3)＋Lb6/(4224RB5)

2.墩台轴线与后视墩台中心点连线夹角的计算

在前一题的影响下，学生在做左图时会进行有序思考，在追问中教师整理△的个数如右图，学生体会到△既可以是标准量，也可以是比较量，再次内化“标准量”的聚焦地位，从这“一题”演绎成“一类”题，再次突破“倍”的本质。最后，通过分类“△少于○的，△与○相同的，△大于○的”，深刻体会“△与○相同”1倍关系的特殊性；从而渗透“因数和倍数”的概念，理解6的因数是有限的、6的倍数是无限的等相关知识，以探寻概念之间关联性的思维路径。

计算出A、B两点的坐标后，就可以计算出各夹角了

图一：

θ1=-arctg()

θ2=Lb2/(2A2)(A：缓和曲线的参数，A为已知)

θ=90°-（θ2-θ1）

φ=θ＋β

二平行法布墩台时（图二）

图二中，A、B分别为相邻墩台的中心点，C点为A、B连线与X轴交点，θ1为AB与X轴的夹角；E点为桥中心线上某点，此点用来确定路水交角，亦即全桥墩台轴线的基准线，全桥墩台轴线与此平行；D 点为E 点的切线与X 轴交点，θ0 为BE 与X 轴的夹角；θ2为B点的切线与X轴的夹角（图中未示）；θ3为墩台轴线与X 轴夹角（全桥相同）；β为墩台轴线与E 点法线的夹角（为已知）；φ即为本文所要求出的、墩台轴线与后视相邻墩台中心连线的夹角。

E点切线与X轴的夹角θ0的计算

当位于圆曲线上时：

θ0=Le/R(Le：E 点至原点的曲线长度，Le 为已知；R：圆曲线半径，R为已知)

当位于缓和曲线上时：

θ0=Le2/(2A2)(A：缓和曲线的参数，A为已知)

墩台轴线与后视墩台中心点连线夹角的计算

图二：

90°＋β=θ0＋θ3

θ3=90°＋β-θ0

φ=θ1＋θ3

本计算可在桥梁墩台平面设计时作为参考，也可供施工放线时使用，是桥梁墩台平面设计的方法之一，也可以用来对使用其它方法的设计或施工放线的结果进行校核，而且简单易行。

孙家驷，道路勘测设计.人民交通出版社.2005