全转置正交矩阵

郭 华

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)

1 全转置矩阵及其性质

全转置矩阵有如下一些性质:

引理 1［1，2］设 A∈Rm×n，则下述结论成立:

(1)(AO)O=A.

(2)A，B是同型矩阵时(A+B)O=AO+BO.

(3)λ 为常数时，(λA)O=λAO.

(4)A与B可相乘时，(AB)O=AOBO.

(5)(AO)T=(AT)O.

(6)用AST表示A的次转置矩阵，则AST=(AT)O=(AO)T.

引理 2［3］设 A∈Rn×n，则有:

(1)|AO|=|A|.

(2)A 是可逆矩阵时，AO也可逆，且(AO)－1=(A－1)O.

(3)用A*表示A的伴随矩阵，有(A*)O=(AO)*.

(4)A，B 均是 n阶可逆矩阵，则(AB)O也可逆，且((AB)O)－1=(B－1)O(A－1)O.

(5)A是可逆矩阵时，k是不为零的常数，则(kA)O也可逆，且((kA)O)

(6)A 是可逆矩阵时，|(AO)－1|=|A－1|.

2 全转置正交矩阵和它的一些性质

定义2 对A∈Rn×n，如AAO=AOA=I，则称A为全转置正交矩阵.

性质1 设A，B∈Rn×n，且均为全转置正交矩阵，则

(1)A 可逆，且 A－1=AO.

(2)|A|= ±1.

(3)AT，A－1，AO，AST，A*也是全转置正交矩阵.

(4)当A，B可交换时，AB也是全转置正交矩阵，从而Ak(k为整数)也是全转置正交矩阵.

证明 (1)显然成立.

(2)由 AOA=I⇒|AO||A|=|I|=1，⇒|A|2=1，⇒|A|= ±1.

(3)由AOA=I⇒(AOA)T=IT，⇒AT(AO)T=I⇒AT(AT)O=I，所以AT是全转置正交矩阵.

由 AOA=I⇒(AOA)－1=I－1，⇒A－1(AO)－1=I⇒A－1(A－1)O=I，所以 A－1是全转置正交矩阵.

由AOA=I⇒(AOA)O=IO，⇒(AO)OAO=I，所以AO是全转置正交矩阵.

由 AOA=I⇒(AOA)T=IT，⇒AT(AO)T=I，因为(AO)T=AST，AT=(AST)O，所以(AST)OAST=I，AST是全转置正交矩阵.

因为 A 可逆，且 A*=|A|A－1，所以由 A*(A*)O=|A|A－1(|A|A－1)O=|A|2A－1(A－1)O=A－1(AO)－1=(AOA)－1=I，可知A*是全转置正交矩阵.

(4)因为AB=BA，所以(AB)O(AB)=AOBOAB=AOBOBA=AOA=I.可知AB是全转置正交矩阵.

性质2 设A，B可逆，且存在全转置正交矩阵Q，使得A=BQ，且B，Q可交换，则有AOA=BOB.

证明 因为 A=BQ，QOQ=I，BQ=QB，所以 AOA=(BQ)O(BQ)=BOQOQB=BOB.

性质4 设A，B是n阶全转置正交矩阵，若|AB|=－1，则|A+B|=0.

证明 因为 AOA=I，BOB=I，所以|A+B|=|ABOB+AAOB|=|A(BO+AO)B|=|A||(B+A)O||B|=|A||B+A||B|=|AB||A+B|= － |A+B|，于是|A+B|=0.

性质5 设A，B是n阶全转置正交矩阵，若|A|+|B|=0，则|A+B|=0.

证明 由性质4的推导过程有|A+B|=|A||B+A||B|=－|A|2|A+B|=－|A+B|，于是|A+B|=0.

性质6 设A∈Rn×n，A为全转置正交矩阵，若λ是A的特征值，则是AO的特征值.

证明 因为 A－1=AO，而是A－1的特征值，即是AO的特征值.

性质7 设A∈Rn×n，A为全转置正交矩阵，若|A|=－1，则λ=－1一定是A的特征值;若|A|=1，当n为奇数时，则有λ=1一定是A的特征值.

证明 当|A|=－1时，因为|A+I|=|A+AAO|=|A||I+AO|=|A||(I+A)O|=|A||I+A||=－|A+I|，即有|A+I|=0，λ=－1为A的特征值.

若|A|=1，当A的阶数n为奇数时，|A－I|=|A－AAO|=|A||I－AO|=|A||(I－A)O|=|I－A|=(－1)n|A－I|= －|A－I|，即有|A－I|=0，λ=1为A的特征值.

性质8 设B∈Rn×n，B为全转置正交矩阵，I+B是可逆矩阵，则存在矩阵A，A满足 A=－AO，使B=(I－ A)(I+A)－1.

证明 因为

用(I+B)－1左乘和右乘式(2)两端可得(I－B)(I+B)－1=(I+B)－1(I－B)，令

则 A+I=(I+B)－1(I－B)+I=(I+B)－1(I－B)+(I+B)－1(I+B)=(I+B)－12I，可知 A+I可逆.

用I+B左乘式(1)得

因为 A+I可逆，式(6)两端右乘(A+I)－1，即得 B=(I－A)(I+A)－1.得证.

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