平面问题的二阶平衡微分方程

吕晓薇

（山东科技大学 土木建筑学院，山东 黄岛 266000）

设Ω是一平面薄板内的一个平行六面体的微分几何体，它在x、y方向的尺寸分别为dx、dy，它在z轴方向的尺寸取成一个单位长度，由于应力分量是位置坐标x、y的函数，故作用于Ω左右两对面的应力分量不相同。

假定作用于Ω左面的正应力为σx，则作用于右面的正应力约等于：

同样设作用于Ω左面的切应力为τxy，则作用于右面的切应力近似为：

如果作用于上面的正应力与切应力分别σy，τxy则下面的正应力与切应力近似分别为：以x轴为投影轴，其投影的平衡微分方程为：

即：

整理得：

同理可得：

(1)、(2)就是平面问题中应力分量与体力分量之间的二阶平衡微分方程。

当dx→0，dy→0时，即得到教材中的一阶平衡微分方程：

[1]徐芝纶.弹性力学[M].高等教育出版社.2006.12

[2]吴家龙.弹性力学[M].高等教育出版社.2010.11