利用信息技术开展数学探究活动案例简析

◆吴帅荣

以“探究最大视觉和最佳观测位置”为例，介绍学生如何用信息技术开展数学探究活动。学生在教师的引导下，根据操作提示，以小组为单位，动手操作计算机，亲身参与到知识探究过程。学生通过自身的积极思考与同伴的合作交流等活动，达到掌握新知识、培养良好的数学思维品质，培养学生创新思维和应用数学知识的意识。

1 问题的提出

随着当今社会知识信息激增和“减负提素”工作的深入开展，传统教育面临巨大的挑战，教学手段和教学方法的更新势在必行。数学作为一门中学主要学科，传统的教学手段黑板加粉笔，偶尔加一些模型，同时由于数学本身不具有某些学科形象、生动、具体等特点，学生学起来难免有些枯燥无味，这直接影响学生学习数学的积极性。信息技术不仅有强大的计算功能，还有良好的交互界面，这无疑给数学教学改革带来一片生机。教师应利用信息技术开展数学探究活动，减少解决问题过程中的机械的、重复性的劳动，提高数据的表达效率，使学生把更多的时间用于理解数学本质、探究数学规律上，从而提高数学教学效率，发展学生思维能力。

2 数学探究与信息技术概述

新课标要求“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学方式”。因此，在数学教学中应该积极开展各种不同形式的数学探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

“数学探究”即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明[1]。可见，数学探究是新课程下有效开展高中数学教学的一种重要的学习方式。与此同时，现代计算机技术计算能力以及图形表达能力不断提高，数学软件如几何画板、MATLAB等软件不断完善。信息技术对数学课程、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。它一方面突破数学教学中的重点和难点，进而优化教学形式、数学教学内容、学习过程；另一方面，在进行数学探究活动过程中，更能充分体现学生在学习中的主体地位。利用信息技术开展数学探究性活动主要包括创设问题情境、展示数量关系、探究发现规律、科学检验等环节。合理使用信息技术有助于呈现以往数学教学中难以呈现的课程内容，有助于学生对数学逻辑关系的直观感受。它在数学教学中的应用对数学教学方式产生积极而深远的影响。

3 “探究最大视觉和最佳观测位置”的教学过程

以下是笔者最近组织学生，以小组合作学习的方式，使用几何画板软件，进行数学探究性课题活动的教学课例，以供大家进行讨论，欢迎提出宝贵建议。

3.1 提出问题，激发学习兴趣

1471年，德国数学家J.米勒提出如下问题：

一尊英雄塑像，高H米，塑像底座高p米，一人从远处注视塑像朝它走去，此人眼离地面h米，问此人走到哪一点观看塑像时觉得塑像最大（即视角最大）？不妨设H=10米，p=13米，h=1.8米。

设计意图：选择有趣的问题背景，在学生“最近发展区”里提出有意义的数学问题，激发学生学习动机，提高学习兴趣。

3.2 动手操作，创设探究情景

师：请同学们按下列提示的操作步骤，以小组为单位，合力完成下列探究活动。

操作提示：

1）启动几何画板5.03；

2）点击【绘图】|【定义坐标系】菜单，建立平面直角坐标系，可以把x轴看作地平线；

3）新建参数H、p、h，并设置初始值为10、13、5；

4）计算H+p，并分别绘制点A(H+p,0)，B(p,0)，则线段BA就是塑像的位置，OB就是塑像的座高；

5）在x轴上任意取一点C，测量点C横坐标xC，并绘制点D(xC,h)，则点D就是人眼的位置；

6）连接线段CD、AD、BD，为了方便观察，可以把线段AD、BD改为虚线，于是∠ADB可以看作人的视角（如图1所示）。

设计意图：学生在几何画板上根据操作步骤，模拟实际的观察情况，为学生进行科学的探究活动做好准备。

图1

3.3 观察现象，探究数量关系

探究活动一：利用几何画板的动态演示功能，初次感受最大视角的位置

1）测量∠ADB的大小，并绘制点P(xC,∠ADB)，并选择点P，同时，按“Ctrl+T”组合键，追踪点P移动轨迹。请你拖动点C，看∠ADB的大小有何变化？

2）依次选择点C、点P，点击菜单【构造】|【轨迹】，观察点P的轨迹是什么？有何变化？

3）请你拖动点C的位置，结合∠ADB大小变化，探究视角最大时，点C所在位置。

设计意图：学生通过动手操作，亲身感受观察视角∠ADB随OC的距离变化而变化（如图2所示），得出最佳观察点的大概位置

图2

3.4 深入探究，发现数学规律

探究活动二：探究最近观察点的位置

师：请同学们认真思考，相互交流，看看最佳观察位置在哪里？

有些学生动手操作，有些学生开始交流

生：过点D作直线l1，它与y轴相交于点E；作过点A、点B与直线l1相切的圆，其切点Q就是人观察AB的视角最大的地方（如图3所示）。

师：你能说说你的理由吗？

生：如图4所示，人眼在水平线l1上，除点Q外，直线l1上任意一点都在圆外，如果眼在Q点的右侧D点，不妨BD与圆相交于点F，连接AQ、BQ、AF，则∠AFB=∠AQB，而∠AFB是△AFD的外角，于是∠AFB＞∠ADB，所以∠AQB＞∠ADB。若眼在点Q的左侧，同理可证视角小于∠AQB。所以∠AQB是最大视角，Q点是最优观察点。

图3

图4

探究活动三：求出最佳观察点的位置大小

师：回答得非常棒，既然点Q是最优观察点，也就是说EQ就是距离观察点观察的最优距离，请问如何求出EQ的长度呢？

生：我有一种方法：

∵l1是圆N的切线

∴∠BQE=∠QAE

∴Rt△BEQ∽Rt△QEA

∴EQ2=BE·AE

∵AE=H+p-h，BE=p-h

师：还有其他方法吗？

图5

生：构造直角三角形（如图5所示），利用勾股定理：

作AB的中点M，连接BN、MN，则△BNM为直角三角形。由条件得：

3.5 科学验证，完美解答

师：利用上式，当H=10米，p=13米，h=5米时，大家计算最佳观察点在哪里？

学生进行计算，很快就得出：

所以，最佳观察点在距离底座12米处。

师：我们再一次利用计算机进行验算，看看这个关键点是不是落在12米处。

生：通过移动点C，并跟踪∠ADB的大小（如图6所示），在距离原点12处，∠ADB达到最大值，所以最佳观察点在距离底座12米处。

图6

3.6 畅谈体会，共同提高

各组选一名代表谈谈上这节课的体会，教师小结本课，提出希望。

4 几点体会

4.1 合理设问、巧选课题

维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生潜在的发展水平。两者之间的差距就是“最近发展区”。教师要通过教学指导学生的思维实现从现有的发展水平到潜在发展水平过渡，以完成发展过程[2]。因此，教师必须了解和把握学生对某个知识点的现有发展水平，然后把学生的最近发展区划分为几个发展层次，最后设计引导学生实现思维最近发展区“思维跃迁”的教学策略。所以恰当选择合适的探究课题，就成为提高学生“思维跃迁”的关键。课题的选择一般来说具有几个特点：要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究过程，有助于学生形成发现问题、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性。课题应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超过学生现有的知识范围。

4.2 处理“主导”与“主体”的关系

在开展数学探究活动的过程中，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。课堂的教学活动不应都是教师的讲授，而更多地体现学生的自学、讨论、调查、探索、解决问题等环节。教师的主导作用体现在创设好的问题环境，激发学生自主地探究解决问题的积极性和创造性上；学生的主体作用体现在对问题的探索发现解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成。实现以教为主到以学为主的重心转移。

4.3 恰当使用信息技术，充分利用信息技术的优势

现代信息技术的广泛应用正对数学课程的内容、数学教学、数学学习等方面产生深远的影响。它在教学中的优势主要体现在快捷的计算功能、丰富的图象呈现、大量数据的处理能力，以及提供交互式的学习和研究环境等方面。因此，教师在教学中，一方面应重视现代信息技术与教材的有机结合，充分利用现代信息技术的优势，帮助学生更好地认识和理解数学，增强学生对数学学习的兴趣，提高教学质量[3]；另一方面，特别要注意信息技术手段的作用是“辅助”，必须摆正位置，尤其警惕不能让多媒体教学手段喧宾夺主。评价一节课的好坏，并不是看教育手段使用的多少，而要看是否开发了学生的智力，挖掘了学生的潜力，培养了学生的能力[4]。

[1]数学课程标准研制组.《普通高中数学课程标准（实验）》解读[M].南京:江苏教育出版社,2004.

[2]周春荔,张燕勤,等.数学创新意识培养与智力开发[M].北京:首都师范大学出版社,2000.

[3]曹才翰,章建跃.中学数学教学概论[M].2版.北京:北京师范大学出版社,2008.

[4]邱学华,张良.尝试教学策略[M].北京:北京师范大学出版社,2010.