代数方法解几何，数学问题不难做

☉江苏省如皋市港城实验学校 何银峰

代数方法解几何，数学问题不难做

☉江苏省如皋市港城实验学校 何银峰

对于2013年江苏省南通市中考试题第28题，在解题过程中用代数方法去解决，将简化学生的思维.

图1

（1）求b的值；

（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数y=的图像上；

（3）求证：x1OB+y2OA=0.

分析：本题是二次函数的综合题型，涉及的知识点有二次函数、反比例函数的图像上点的坐标特征，三角形的面积，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中.求出△OCD的面积S是解第一问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1、y2是方程y2－（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1y2=64是解第二问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，得出∠AOB=90°，是解第三问的关键.但是如果按照这样的思路解决第三问，将使解答过程变得非常烦琐.

先用几何法证明.

如图2，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F.由∠AOB=90°，得∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF.

图2

从上述解答过程可以看出，利用平面内两点间的距离公式，表示出OA、OB，代入x1OB+y2OA，利用二次根式的相关知识进行变形，最后求出其值恒为0，进而证明第三问.用代数方法解决，大大简化了学生的思维过程，能够更贴合学生的解题思路，增加了学生解决此题的可能性.

虽然代数与几何分属数学的两个不同分支，但是，教师在教学中，应注重培养学生用代数思想解决几何问题，用几何思想解决代数问题，让数学中的两个不同分支有机结合，尝试用不同的思想方法解决问题，培养学生的综合解题能力，这一点在中考考试中也是尤为重要的.

以上所言，仅为教学过程中的一点感悟.只要真正将几何与代数有机结合，所有的数学问题都将不是问题！