微分中值定理的推广与应用

程 娜

辽宁广播电视大学 （沈阳 110034）

1 中值定理的内容及联系

1.1 基本内容

1.1.1 Rolle定理

1.1.2 Lagrange定理

1.1.3 Cauchy定理

1.2 三个定理之间的联系

对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现这三个定理条件和结论都很相似，通过改变条件还可能互相转化。从而我们可以得出这样的结论：拉格朗日（Lagrange）定理是罗尔（Rolle）定理的推广，而罗尔（Rolle）定理是拉格朗日（Lagrange）定理的特例，拉格朗日（Lagrange）定理是柯西（Cauchy）定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。

2 定理的推广

3 定理的应用

3.1 利用微分中值定理来证明不等式

例 设函数 f( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f( 0)= 0 ,f( 1)= 1 。试证：对任意给定的正数a, b在(0,1)内不同的ξ,η

又由于 f( x)在[0,1]上连续且 f ( 0)= 0 ,f ( 1)= 1 。由介值性定理,∃ τ ∈ ( 0,1)使得

f( x)在[0,τ],[τ,1]上分别用拉格朗日中值定理有

即

即

于是由上面两式有

将两式相加得

3.2 用微分中值定理求极限

解：根据题意，由Lagrangge定理，有

3.3 利用定理证明方程根（零点）的存在性

对微分中值定理的研究和应用从微积分建立之初就开始了，本文从三个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家了解，运用中值定理的关键和解题的难点，是在于构造辅助函数。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本篇文章能够使大家对微分中值定理的内容更加深刻了解，同时在应用中值定理时更加熟练。

[1]华东师范大学数学系编.数学分析第三版[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2]孙清华,孙昊编.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技出版社,2003.

[3]北京邮电大学数学教研室，高等数学[M].北京：北京邮电在学出版社,2003.

[4]同济大学应用数学系，高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.