3PRS－f并联机器人工作空间的建模与仿真

熊志勇，胡亚波

（1宁波敏实汽车零部件技术研发公司，浙江 宁波315800；2湖北交通职业技术学院，湖北 武汉430079）

机器人工作空间又称为可达工作空间或总工作空间，是指机器人输出机构参考点在空间所能达到的区域，目前有关串联机器人工作空间的研究已经相当成熟，但对于并联机器人，由于其本身结构比较复杂，工作空间的求解难度较大［1］.并联机器人的工作空间都是三维空间区域，其边界都是空间曲面.对于空间区域的描述，可以认为是经由许多平行的平面截取而得到一组二维曲线的组合；对于空间曲面，可以用一些离散的点来描述［1－2］.并联机器人工作空间的求解大多都采用数值解法，本文基于一种3PRS－f并联机器人，拟定一种空间搜索方式，利用位置反解来对工作空间进行描述，并进行仿真.

1 3PRS－f机器人结构

3PRS－f机器人（图1）由三角动平台a1a2a3及其拓展点P、3个支撑杆Li以及由步进电机与丝杆螺母副组成的三个移动装置（移动副P）组成.点P为机器人的末端执行器，它到三角动平台的垂直距离为f，随着动平台一起运动.三角动平台的端点分别用3个球铰与3个等长的支撑杆连接（球副S）.3个支撑杆的另一端分别通过销轴和螺母相连（转动副R），其中销轴的方向分别垂直于对应的支撑杆.机器人的底座上垂直安装有3个立柱，3个移动装置分别固定在这3个立柱上，其丝杆的轴线方向垂直于底板.立柱上3个滑块位移的起点构成了三角静平台.O－XYZ为静坐标系；c－xyz为动坐标系，固定在动平台上.

机器人中的f参数，在实际应用中是很有意义的.对于并联加工机床而言，P为刀具加工点，f即为加工点到动平台的距离；对于医疗机器人而言，P可能为激光治疗点或是超声聚焦点，f即为能量聚焦点到到动平台的距离.

图1 3PRS－f并联机器人结构简图

2 影响工作空间的要素

3PRS－f机器人中，对工作空间影响比较大的要素表现为滑块的位移范围、定长杆的长度、球铰的转角和杆间干涉等.而且只有通过求出这些约束条件，才能和机构的位置反解一起求出工作空间.

2.1 滑块位移的限制

根据滑块在轨道上的行程，其位移S必须满足

这里的Smin与Smax表示滑块位移的最小值和最大值，本机构中的Smin取0，Smax为275mm.

2.2 定长杆的长度约束

本机构中的三个杆均为定长杆，当杆长选定后，则工作空间的大小也就决定了，只能是杆的运动能够达到的范围.本机构中的定长杆杆长Li＝L＝290mm （i＝1，2，3）.

2.3 球铰转角的约束

球铰连接着动平台和定长杆，其转角φ对工作空间的影响非常大.本机器人中，球铰竖着安装在动平台下端，转角φ＝50°.图2是机构处于初始状态时的状况.

根据本机构的几何尺寸，可得出初始状况是定长杆与动平台的反向法矢的夹角φ0＝10.77°；另外定长杆与静平台的夹角θ0＝79.23°，定长杆与立柱（即丝杠）的夹角γ0＝10.77°.设定长杆与动平台的反向法矢的夹角（即向量li和τ的夹角）为φi（i＝1，2，3），则

这里φi的约束条件是0≤φi≤φmax.其中，φmax＝的自由度为3，故已知动平台的位姿中相关的3个参数，即可求出输入端参数和一些过程参数.由于本文的研究重点在于工作空间，故这里不再赘述.

本文对工作空间的搜索方式如图3所示，其中P与c分别是超声聚焦点和动平台中心点，动平台的法矢τ（也就是cP方向的方向向量）与Z轴的夹角为α，P3D与X轴的交角为β.于是有

图3 工作空间求解方法

图2 球铰的约束

给定参数Zc、α、β3个参数的值，来求解末端执行点P的位置，该位置的集合即为3PRS－f的工作空间.搜索方式从外到内分3层来理解，先给定一个动平台中心c的纵坐标步距ΔZc，使Zc从Zc，min到Zc，max变化（Zc，min和Zc，max，的值可由3PRS运动反解方程求出）每增加一个步距，并依次用Z＝Zc（ΔZc）的水平面切割空间一次；在某一水平面内，β值都将以步距Δβ来一个从0到360°的扫描，如图4所示（工作空间的各截面的俯视图），并依次使每一个竖直平面Y＝（tanβ）X切割空间一次；某一竖直平面内，给定α一个步距Δα，让α从0到αmax扫描，同时考查上文的约束条件，从而可以上文的方程得出P点的运动轨迹.

2.4 杆间干涉

在3PRS－f并联机器人中，由于转动副分布的限制，不会出现杆间干涉的情况.

3 工作空间的建模

机器人工作空间的求取，实际上就是按照一定方式在空间扫描，求取末端执行器所能到达的的集合.本文将3PRS－f机器人的工作空间进行分层次地搜索，并基于机器人的反解方法以及约束条件，求取末端执行器所能达到的一些离散点，这些点的集合就是所求的工作空间.文献［3－5］研究了3PRS并联机构的运动反解方程的求法，即根据PRS并联机构

图4 在步长Δβ下工作空间的切割图

3PRS－f机器人的工作空间具体的算法框图如图5所示.

图5 工作空间求解算法流程图

4 工作空间的仿真

根据上文的算法模型，利用Matlab软件求出工作空间所有离散的点，这些点的集合就是3PRS并联平台机构工作空间.下面给出一组求工作空间的参数：

还给出3PRS－f并联机器人的其他参数：上下平台的尺寸r＝106mm，R＝162mm（图1）；f＝270 mm.

为了便于直观且使计算机更加快捷地计算，在不影响其结果的情况下，只计算出边框点.图6～图9列出了机器人末端执行器P点的三维工作空间图及其在XOY／XOZ／YOZ中的截面图（用小圆圈表示离散点）.

5 结束语

本文以3PRS－f并联机器人为研究对象，从滑块位移、定长杆长度、球铰转角、杆间干涉等方面分析了影响其工作空间的约束条件.本文得出了末端执行点P与动平台中心c的关系，并在此基础上利用3PRS并联机构的运动学反解方程，提出了一种空间点的搜索方式，建立了工作空间的求取模型.最后用Matlab软件的仿真功能，对工作空间进行了仿真，生成了一些工作空间的相关图形，使工作空间更直观.

［1］黄 真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制［M］.北京：机械工业出版社，1997.

［2］李 方，南仁东.一种分析并联机器人工作空间的解析几何法［J］.机械制造，2003（3）：12－14.

［3］莫 贤，陈文家，陈淑艳.一种3－PRS并联机器人的姿态空间分析［J］.扬州大学学报（自然科学版），2009，12（3）：60－64.

［4］刘宏伟，马质璞.3－PRS并联机构运动分析及仿真［J］.机械设计与制造2012（1）：216－218.

［5］李王英，徐尤南，刘治强，等.3－PRS型三足并联机器人位置逆解分析［J］.机械工程师，2008（3）：58－59.