步进电机加减速曲线的算法研究

崔 洁，杨 凯，肖雅静，颜向乙

(中国电子科技集团公司第四十五研究所，北京 100176)

步进电机作为数字控制系统完成数模转化的执行元件，功能是把电脉冲信号变换为相应角位移或直线位移。步进电机角位移量或线位移量与其接收电脉冲数成正比，转速或线速度与脉冲频率成正比。在负载能力范围内这些正比关系不会因电压、环境条件等波动而变化，因此应用步进电机的开环控制系统大大简化。所以在现代工业生产中，步进电机因具有无需反馈就能对位置和速度进行控制，快速启停和低成本等优势，在工业自动化控制系统中有极其广泛应用。

在步进电机实际应用过程中，其良好动态运行性能是控制系统可靠稳定工作的重要前提。尤其是在实时性、快速响应要求高的自动化控制系统中，如何保证步进电机在高速运动过程中频繁启停、方向改变和频率突变时不发生丢步、堵转和过冲等现象成为关键。失步和过冲的发生与步进电机运行速度的变化规律，即步进电机的加减速控制曲线密切相关。因此，针对自动化控制系统步进电机的实际应用，研究步进电机曲线控制的加减速算法具有重要意义。

1 步进电机的控制系统

图1 步进电机控制系统

从步进电机的控制过程可以看出设计一个好的加减速控制曲线对规划电机实时快速、准确平稳运动，充分发挥步进电机优势起到了重要作用。下面对常用的曲线加减速算法进行分析。

2 常用曲线加减速算法

步进电机的加减速过程一般分加速、匀速和减速三个阶段，根据目标位移的长度S不同，加减速规划过程也会不同。假设加速到最大目标速度Vmax的位移为Sacc，从目标速度减速到停止的位移为Sdec，会有以下三种具体情况：

（1）Sacc+Sdec

（2）Sacc+Sdec>S时，加减速曲线仅有加速和减速两段，电机运行速度小于Vmax。

（3）Sacc+Sdec=S时，加减速曲线也只有加速和减速两段，但电机的运行速度能达到目标速度Vmax，即电机加速到目标速度后即刻进行减速运动，无匀速运动段。

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根据步进电机的运动控制过程，目前常用的步进电机的加减速曲线算法主要有梯形曲线、指数曲线和S形曲线算法。

2.1 梯形曲线

梯形曲线算法的加减速过程分匀加速、匀速和匀减速三个阶段。该算法的速度与时间曲线由于呈梯形状，属直线型，故名梯形曲线或直线曲线，如图2所示，同时，图中也给出了加速度时间关系。速度时间曲线的数学方程式为：

其中，v为t时刻的速度，Vs为起始速度，A为加速度。

图2 梯形曲线关系图

由图2可知，曲线的速度变化不够光滑，存在突变。在电机运行过程中会发现该算法存在噪声较大，稳定性不好等缺点，因此该算法不适用短距离、高精度、高速启停的场合。但由于其算法控制简单，易于计算实现，节省资源等优点，该曲线算法广泛应用于长距离升降速要求不高的场合。

2.2 指数曲线

与梯形曲线类似，指数曲线是由于其加减速变化曲线按指数规律变化而得名，速度时间、加速度时间变化曲线如图3所示。

图3 指数曲线关系图

与梯形曲线相比，指数曲线算法光滑性好，运行精度高，但仍然存在速度突变，因此对高速精准要求场合不能很好满足。另外，由于其在加减速控制过程中有大量指数运算，所以使得该算法计算实现复杂，对硬件的运行能力有较高要求。

2.3 S形曲线

从图2、图3可以看出，梯形和指数加速度曲线不连续，均有不同程度的加减速突变。而S形曲线克服了这方面的缺点，保证了加速度曲线的连续性。这样，S曲线通过对加加速度的控制最大程度减少了速度的冲击和抖动现象，实现了对电机的快速平稳控制。一般，S曲线的加速度阶段分为加加速、匀加速和减加速控制三个阶段；减速阶段分为减减速、匀减速和加减速三个阶段。这样，加上匀速阶段，S曲线通常分为七个阶段，如图4所示。由图可以看出速度曲线在加减速阶段呈S形，因此得名S形加减速算法。

图4 S曲线关系图

虽然相比梯形和指数加减速，S形加减速在减少速度冲击方面有了很大进步，适用于较高要求的加减速过程。但由于其涉及阶段较多，实现较复杂，另外其加加速度的不连续性限制了柔性进一步控制。因此本文介绍一种三角曲线加减速算法，该算法既有计算简单，实现方便等优点，又能提高系统加减速柔性，满足更高设备系统的应用需求。

3 三角曲线加减速算法设计

3.1 数学函数的构造

由S曲线的缺点可知，设计三角曲线加减速算法最重要的一点是变速过程中要满足加加速度曲线连续。综上可知，构造的三角曲线必须满足以下几个基本条件：

（1）速度变化曲线变化平稳，不存在速度突变冲击；

（2）加速度变化曲线连续；

（3）加加速度变化曲线连续；

（4）速度曲线加速变化段的起始和终止、匀速整段、减速变化段的起始和终止加速度均为0，并满足边界速度要求。

结合以上要求，现构造三角曲线的加减速数学函数。设速度从Vs经时间Tm变化（加速或减速）到Ve，则根据三角函数的移动变换关系，可以构造变速阶段三角曲线数学函数如式(2)：可简化为：

其中，t∈[0，Tm]。当 t=0 时，V(t)=Vs；当 t=Tm时，V(t)=Ve，满足速度边界条件。对公式(3)求导，可得加速度数学函数为：

显然A(0)=0，A(Tm)=0，满足加速度边界条件。对公式(4)求导，易得加加速度数学函数为：

另外，正、余弦三角函数具有平滑连续可导特性。因此综上分析，构造的数学函数满足三角曲线加减速算法设计的基本条件。

3.2 算法加减速过程分析

根据加减速运动控制过程可知，加减速产生的位移对规划运动过程起决定性作用。对公式(3)积分可得算法位移时间关系式：

在三角曲线加减速控制整个过程中，假设能达到的最大速度为Vm，加速起始速度Vs，减速终止速度Ve，总加速时间Tma，总减速时间Tmd，则加、减速的位移公式分别为：

目标位移S与Sa(Tma)、Sd(Tmd)间的关系，决定电机如何根据三角加减速算法规划运动。为了方便研究，我们设加速初始速度与减速终止速度相等，加速时间与减速时间相同，即Ve=Vs，Tma=Tmd=Tm。这样，由式(4)易得加速最大加速度Ama与减速最大减速度Amd大小相等，即Ama=Amd=Am。同时，加速与减速两个过程发生的总位移SAD=Sa(Tma)+Sd(Tmd)可简化为：易知 A(t)≤Am，另外，结合式(4)可得如下关系式：

解(10)得

从系统运行时间最短考虑，可用式(11)来保证运行时间最短。并且加速阶段加速度时间关系图关于时间轴对称。

结合公式(11)、(3)和(6)可得速度变化关系式(12)和位移时间关系式(13)，根据式(9)和式(11)可以推得式(14)。

综上可知，由于Vs为已知值，所以只要给定最大加速度Am、目标速度Vm与目标位移S就可得到三角曲线加减速算法具体规划运动。当 S>SAD，即。电机有加速、匀速和减速三阶段运动；同理当，电机仅有加速和减速两阶段运动。

4 结 论

加减速控制算法在步进电机运动过程控制中起着不可替代作用，在工业控制系统中有着广泛应用。不同的加减速控制算法有不同的控制要求和特点，本文主要对梯形曲线、指数曲线和S形曲线等常用控制算法进行了分析研究，并针对以上算法的不足介绍了一种速度柔性更强的三角曲线算法，表1为上述几种加减速算法在速度、加速度、加加速度、计算量及实现复杂度上的具体情况。

表1 步进电机加减速算法对比表

根据表1所述加减速算法的不同特点，为了更好地发挥各算法的控制优势，不同的应用场合可以使用不同的算法。在半导体设备控制系统中，以物料系统的步进电机控制为例。

对运动精度与平稳性要求不高的场合，如长距离送料等辅助控制中，我们可以选用梯形曲线加减速算法控制；而对于精度、平滑性要求较高场合，如上下料步进定位，S曲线加减速算法控制可以满足要求；而对于速度平稳性，精度要求更高场合，如搜索料过程，则三角曲线算法控制为最好选择。

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