股票价格线性回归分析——基于matlab 岭回归分析

张谊然

（南京大学，江苏 南京 210000）

一、背景

在计算股票收益率时，人们往往运用收盘价计算股票的收益率，而忽略当日股价变化情况。如果在每日闭市之前，能观察出今日的开盘价、最高价、最低价，就可准确预测出今日的收盘价。刘广丽（2007）利用岭回归的方法，对我国上海股市进行研究，建立了多元线性回归模型，并进行预测。本文通过编写MATLAB程序，用2011 年242 个交易日的数据，对“中国银行”股票价格进行岭回归分析。

二、模型建立

首 先， 建 立 回 归 方 程。Y(i，1)=b(1，1)+b(2，1)*x(i，1)+b(3，1)*x(i，2)+ b(4，1)*x(i，3) ，其中Y(i，1)代表日收盘价，x(i，1)代表日最高价，x(i，2)代表日最低价，x(i，3)代表日最高价。经过回归得到线性方程Y(i，1)=0.0023-0.5253* x(i，1)+ 0.7818* x(i，2)+ 0.7433* x(i，3)。回归得到的R 方为0.9969，F 值为25349。因此，可以初步判断上述回归方程成立。但由于自变量间可能存在严重共线性，需要对其共线性进行分析。

其次，对自变量进行标准化处理。令z(i，j)=(x(I，j)-μj）/∑( x ( i , j )-μj)2， μj为自变量的样本均值。得到的z 矩阵，为标准化的自变量。对z 进行线性回归Y(i，1)=bb(1，1)+ bb(2，1)* z(i，1)+bb(3，1)*z(i，2)+bb(4，1)*z(i，3)，得到回归方程为Y(i，1)=3.7256-2.9928* z(i，1)+ 4.506* z(i，2)+ 4.1702*z(i，3)。最后，观察方差膨胀系数。由于方差的膨胀系数VIF 为inv(z’z)主对角线上的数，可观察到VIF1=237.8; VIF2=162.17; VIF3=153.03，本模型存在严重的多重共线性。

三、岭回归分析

岭回归法是A.E.Horel 在1962 年提出的一种能诊断和处理多重共线性的方法。在多重共线性非常严重的情况下，两个共线变量的系数之间的二维联合分布是山岭状曲面，曲面上的每个点均对应一个残差平方和，点的位置越高，相应的残差平方和越小。构造岭估计，估计参数bl=inv（z’z + kI）*z’Y ，其中k 为岭回归参数。当k=0 时，估计参数就是普通最小二乘估计。当k增加时，所有的参数估计的绝对值都不断变小，对参数估计的偏差越大。但随k 增加，矩阵inv（z’z + kI）主对角元素Cii(k)将不断减少，即回归系数的误差平方和将下降，岭估计的方差膨胀系数会随k 的增加而减少。所以在k 取适当的值时，用岭回归估计出的参数比用最小二乘法估计的参数更稳定。一般而言，k的取值范围为（0，0.5），在这个区间内，岭回归的方差膨胀系数Cii(k)≤10，说明共线性很小。

本文用MATLAB 选取k 范围为[0.01，0.02]。利用膨胀系数C=inv(z'z+k*I(3))*z'z*inv(z'z+k*I(3))，选 择出使C ≤10 的k。当k 取[0.013，0.02]时，方差膨胀系数都小于10，特别当k 等于0.02 时，方差膨胀因子最小（见表一）。绘制岭迹图k 取0.02 时，参数的估计值趋于稳定。自变量最高价的估计参数也改变了符号，其对日收盘价的影响从负效应变为正效应，这也符合经济逻辑。据此，可以建立岭回归估计方程为Y(i，1)=3.7256+1.2812* z(i，1)+2.1984* z(i，2)+ 2.1636*z(i，3)，把标准化后的自变量经过还原后，回归方程为Y(i，1)= -3.6616+0.2249* x(i，1)+ 0.3815* x(i，2)+ 0.3857* x(i，3)，此时R 方为0.9807，F 值为4024.7，经过岭估计的回归拟合成立，且消除共线性的影响。

表一 inv(z'z+0.02*I(3))*z'z*inv(z'z+0.02*I(3))

四、结论

本文运用岭回归的方法解决了多重共线性的影响，得到了中国银行股票日收盘价与开盘价、最高价、最低价的回归方程。bb(i，1)= 0.2249，表示每增加一个单位的开盘价，会使当日收盘价增加0.2249 个单位；bb(i，2)= 0.3815，表示每增加一个单位的最高价，会使当日收盘价增加0.3815 个单位；bb(i，3)= 0.3857，表示每增加一个单位的最低价，会使当日收盘价增加0.3857 个单位。这说明已知股票的开盘价、最高价、最低价，有利于估测该股票的收盘价。

[1]刘广丽. 岭回归方法在股市中的应用[J]. 金融经济，2007(16).

[2]杨楠. 岭回归分析在解决多重共线性问题中的独特作用[J]. 统计与决策，2004(03).