几何概型中的转化与化归

郭楚明

一、转化为以线段长度或弧长为度量的几何模型

例1 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率.

分析 将间隔10分钟看作长度为10的线段[T1T2]，乘客到达车站的时刻为线段[T1T2]上任意一点且到达每一点的可能性相等，则基本事件有无限多个，故这是几何概型.

解 设上辆车于时刻[T1]到达，而下辆车于时刻[T2]到达，则线段[T1T2]的长度为10. 设[T]是线段[T1T2]上的点，且[TT2]的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件[A]，则事件[A]发生即当点[t]落在线段[TT2]上.由[D=T1T2=10]，[d=TT2=6]，[∴P（A）=dD=610=35.]故乘客候车时间不超过6分钟的概率为[35.]

点拨 将以实际为背景且事件发生与区域长度有关的问题转化为对应线段（或弧线）长度的比求解.

二、转化为以平面图形面积为度量的几何模型

例2 在边长为2的正[ΔABC]内任取一点[P]，则使点[P]到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 .

分析 到[ΔABC]某一顶点距离小于1的区域为以该顶点为圆心，半径为1的圆与[ΔABC]交出的扇形，由于该扇形内的点有无限多个，且每个点被取到的可能性相等，所以这是几何概型问题.

解 以[A，B，C]为圆心，1为半径作圆，与[ΔABC]交出扇形，当[P]落在三个扇形内时符合要求.

[∴p=3×（12×π3×12）34×22=36π].

点拨 将事件发生与区域面积有关的实际问题，转化为平面图形对应面积的比求解.

三、转化为以二维平面区域面积为度量的几何模型

例3 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.

分析 甲、乙两船分别到达的时间设为[x，y]，在坐标平面内，则满足[0x24，0y24]的正方形中的任一点[（x，y）]就表示甲、乙两船在一昼夜到达的时间. 即有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间，须满足[-2

解 甲比乙早到4小时内乙须等待，甲比乙晚到2小时内甲须等待。以[x]和[y]分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间的等价条件为[-2

[∴P（A）=242-12×222-12×202242=67288.]

故有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率是[67288.]

点拨 将两艘船分别到达的时间用[x]，[y]表示，注意“必须等待”即指[-2

四、转化为以空间图形体积为度量的几何模型

例4 一只小蜜峰在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜峰在飞行过程中与正方体玻璃容器的6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上. 若始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的. 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是 .

分析 将蜜蜂看作点，则蜜蜂所处的位置是正方体内的立体空间，在这个空间内的点是无限的，因此这个问题也是几何概型问题.

解 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件[A]，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故[P（A）=103303=127].

点评 对于与体积有关的几何概型问题，关键要构造满足条件的空间图形，从而计算总空间的体积及事件发生空间的体积.

五、转化为以角度为度量的几何模型

例5 在[RtΔABC]中，[∠A=30°]，过直角顶点[C]作射线[CM]交线段[AB]于[M]，求使[|AM|>|AC|]的概率.

分析 因为过点[C]作射线是均匀的，因而把在[∠ACB]内作射线[CM]看作是等可能的，基本条件是射线[CM]落在[∠ACB]内任一处，使[|AM|>|AC|]的概率与[∠BCC]的大小有关，这符合几何概型的条件.

解 设事件[D]为“作射线[CM]，使[|AM|>|AC|]”，在[AB]上取点[C]使[|AC=|AC|]，

因为[ΔACC]是等腰三角形，

所以[∠ACC=180°-30°2=75°，]

[∴μA=90°-75°=15°]，[μΩ=90°. ]

[∴P（D）=15°90°=16].

点评 要特别注意“过直角顶点[C]作射线[CM]交线段[AB]于[M]”这句话，由此确定测度是角度，不要与“在线段[AB]上任取一点[M]，作射线[CM]”相混淆，这两个问题的基本事件的形成条件是不同的.

1. 拉练行军中，某人从甲地到乙地共走了500m，途中涉水横穿过一条宽为[xm]的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，若物品遗落在河里则找不到，否则可以找到.已知找到该物品的概率为[45]，则河宽为（ ）

A. 40m B. 50m

C. 80m D. 100m

2. 某人向一圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中内接正方形区域的概率为 .

3.在区间[0，1]上任取两个数[a，b]，则函数[f（x）=x2+ax+b2]无零点的概率为（ ）

A. [12] B. [23] C. [34] D. [14]

4. 在棱长为2的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，点[O]为底面[ABCD]的中心，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]内随机取一点[P]，则点[P]到点[O]的距离大于1的概率为 .

5. 在直角坐标系[xOy]内，射线[OT]与[x]轴正半轴构成[∠xOT=60°]，任作一条射线[OA]，求射线落在[∠xOT]内的概率为 .

1. D 2. [2π] 3. C 4. [1-π12] 5. [16]