求解带有间断系数泊松方程的修正有限体积

续小磊，冯秀芳

宁夏大学 数学计算机学院，银川 750021

求解带有间断系数泊松方程的修正有限体积

续小磊，冯秀芳

宁夏大学 数学计算机学院，银川 750021

1 引言

界面问题在现实生活中有很多实例，如静电、流体动力学、热传递等。在这里考虑下面的椭圆型界面问题：

区域Ω被界面Γ分为几个子区间Ωi，假设扩散系数K在每一个子区间内是连续的，在界面处是不连续的。流过界面的通量是光滑连续的，记为-K∇u·n，此处n是界面处的单位向量。通常把系数间断处称为界面。在本文中，得出一个求解二阶椭圆界面问题的新的差分格式。

有限体积方法是求解偏微分方程的一种新的数值方法，它是结合有限差分方法与有限元方法产生的，它既有有限差分方法的简单性又具备有限元方法的高精度性。具有离散模板结构紧凑、较好的精确度和局部离散守恒等独特性质。在所有的这些离散化方法中，它们假定的扩散系数的跳跃与有限元分区相结合。这意味着，扩散系数在每个区间内是足够光滑的，跳跃只可能发生在每个有限元边界。文献[1]对有限体积法做了详细的介绍。有限体积学者早期的工作主要集中在标准的对偶剖分，如利用三角形网格和四边形网格生成精确的近似值（见文献[2-6]）。有限体积法被广泛应用于计算流体力学和热传递（如文献[7-11]）。在文献[12]中，shashkov将逼近平衡方程的思想扩展到更大范围的微分算子。这种新的方法已经影响了离散算子相应的微分算子以及具有相同性质的其他算子。

具有间断系数或间断解的椭圆型方程经常出现在自然模型问题中，如表面张力具有跨越界面的压力或压力梯度的可压缩两相流；零马赫数预混燃烧在动态压力和压力梯度的火焰的投影方法；不同热容量和导热系数扩散材料之间界面的热传导过程等。M.Oevermann在文献[13]中给出了一个针对具有尖锐界面的三维变系数椭圆方程的二阶有限体积方法，该方法在界面上使用标准的分段线性有限元区间和双分段拟线性区间，界面的求解使用一个27点模板，由此产生的线性方程组采用BICGSTAB求解代数多重网格的办法进行预处理与解决。在各种测试中，包括大比例和非光滑界面的情况下实现了在L2范数和 L∞范数下的二阶精度。文献[14]中的浸入界面方法是利用有限体积法在笛卡尔网格下求解变系数二阶椭圆型方程，其主要思想是使用解决方案的分段多项式表示一个双网格，避免界面配置之间的区别，该方法利用九点格式，能达到二阶精度。R.Ewing在文献[15]中对经典的有限体积方法[3]进行了修正，新的方案中通量在界面处的分量是光滑的。数值实验表明，R.Ewing的方法比经典的有限体积方法更有效，解与通量在H1范数下均能达到二阶精度。本文利用R. Ewing的思想，对经典的有限体积方法作了进一步的改进，得到的结果比R.Ewing的方法更为精确。新的方案中通量在界面处的阶段误差能达到和光滑处同样的二阶精度，而且为了提高对调和平均系数的计算精度，采用了辛普森方法对其积分运算。

2 网格剖分

首先给出一个标准的网格划分x0=0，x1=2，=1，xi=+h=2，3，…，N )。在这里，h=1N，N代表网格划分的个数。需要指出的是x0=0和xN+1=1也是网格中的点，不同于其他网格点的地方是它们与相邻的网格点之间的距离是，这种位移网格对Dirichlet边界条件不是很方便，但是如果边界条件中包含通量F，那么这种网格是十分方便和利于计算的。内部网格点可以认为是这样一个控制体的中心：

3 有限体积离散

给定的椭圆方程（1）重写后可得：

本文的结论基于如下两个假设：

有限体积的思想就是在控制体Si内建立平衡方程，将

但是由于两个特殊的内点x1和xN与相邻的边界点的距离是，所以在这两点处的差分需要特殊处理。结合式（16）和（4）得到逼近方程（2）的差分格式：

注 在式（17）中，需要指出以下几点：

（1）用因子1.33和1.24分别代替了经典格式中的因子1。换成新的因子后通量在x=0和x=1处能达到二阶精度。

4 数值实验

为了验证新格式的优越性，下面进行数值实验，将与两种已知的格式进行对比：

（2）文中提到的Samarskii的经典格式，本文将它命名为SHA格式。新的格式用NHA格式来标记。

各种格式的结果最终用下面两种范数进行对比，分别是C-范数和L2范数：

由表1容易看出，新的方案和SHA格式都具有二阶精度，但是新格式的收敛速度更快。AA格式为一阶精度，收敛速度相对较慢。

表1 C-范数

从表2中可以看出，AA格式达不到一阶精度，SHA和新格式都可以达到一阶以上的精度，但是新格式的误差更小，逼近精确解的效果更好。

从图1～3中不难看出，新的格式（NHA）不论在粗网格还是细网格的情况下都能得到很好的逼近。SHA在网格很细密的时候才能较好地逼近精确解，AA格式在粗网格下几乎不能反映精确解，而且精确度较低。

表2 L2-范数

图1 例1在网格点为6时AA格式

图2 例1在网格点为6时SHA格式

图3 例1在网格点为6时NHA格式

5 结论

修正经典的有限体积法得到了一种新的求解间断系数椭圆方程的差分格式，无论在网格划分较粗或较细的情况下都能对精确解进行很好的逼近。进一步的工作是将该方法从一维格式推广到二维、三维格式，同时考虑将该方法推广到非线性问题。

[1]Li Ronghua，Chen Zhongying，Wu Wei.Generalized difference methods for differential equations：numerical analysis of finite volume methods[M].[S.l.]：CRC Press，2000.

[2]Cai Z Q.On the finite volume element method[J].Numer Math，1991，58（1）：713-735.

[3]Samarskii A A.Theory of difference schemes[M].[S.l.]：CRC Press，1977.

[4]Marchuk G J.Methods of computational mathematics[M].Moscow，Nauka：[s.n.]，1980.

[5]李荣华，祝丕琦.二阶椭圆偏微分方法的广义差分法(I)—三角网情形[J].高等学校计算数学学报，1982，6（2）：140-152.

[6]祝丕琦，李荣华.二阶椭圆偏微分方程的广义差分法(II)—四边形网情形[J].高等学校计算数学学报，1982，12（4）：360-375.

[7]Patankar S V.Numerical heat transfer and fluid flow，hemisphere[M].New York：McGraw-Hill，1980.

[8]王宝艳，张铁，王新刚，等.二维定常对流占优扩散方程的指数变换及相应的有限体积法[J].郑州大学学报：理学版，2008，40（1）：56-60.

[9]赵强，袁光伟，董志伟.基于节点重构的扩散方程有限体积格式[J].计算物理，2012，29（1）：1-9.

[10]陈成军，秦世伦.二阶椭圆型方程的有限体积解法[J].四川大学学报：工程科学版，2001，33（3）：1-4.

[11]薛琼，肖小峰.二维热传导方程有限容积法的MATLAB实现[J].计算机工程与应用，2012，48（24）：197-221.

[12]Shashkov M.Conservative finite-difference methods on general grids[M].Boca Raton，Florida：CRC Press，1996.

[13]Oevermann M，Scharfenberg C，Klein R.A sharp interface finite volume method for elliptic equations on Cartesian grids[J].J Computational Physics，2009，228：5184-5206.

[14]Latige M，Colin T，Gallice G.A second order Cartesian finite volume method for elliptic interface and embedded Dirichlet problems[J].J Computer&Fluid，2012：352-377.

[15]Ewing R，Iliev O，Lazarov R.A modified finite volume approximation ofsecond-orderelliptic equationswith discontinuous coefficients[J].SIAM J Comput，2001，23：1335-1351.

XU Xiaolei,FENG Xiufang

College of Mathematics and Computer,Ningxia University,Yinchuan 750021,China

In this paper,a new modified finite volume method is presented to solve the elliptic equations with discontinuous coefficients.This method allows discontinuities of the solution and normal derivatives on the interface inside the domain on a Cartesian grid.From experiment results,this scheme is second-order point-wise convergence and approximates the fluxes to second-order accuracy.At the same time,the numerical results show that the new scheme is much more accurate than the known schemes which use arithmetic and harmonic averaging in solving interface problems,especially in the cases of large jumps of coefficient.

finite volume method;elliptic equations with variable coefficients;interface problem

利用修正的有限体积方法求解带有间断系数的泊松方程，改进是对基于笛卡尔坐标系下的调和平均系数进行的。数值实验表明新格式二阶逐点收敛并且在界面处具有二阶精度，新方法较已有的求解不连续扩散系数的算术平均法和调和平均法，特别是在系数跳跃较大的情况下更具优势。

有限体积方法；变系数椭圆方程；界面问题

A

O241.82

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0203

XU Xiaolei,FENG Xiufang.New modified finite volume approximation of elliptic equations with discontinuous coefficients.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：35-38.

国家自然科学基金（No.11161036）。

续小磊（1986—），男，研究生，主要从事偏微分方程数值解方面的研究；冯秀芳（1975—），女，博士，教授，主要从事偏微分方程数值解方面的研究。E-mail：xuxiaoxiaolei123@163.com

2013-05-16

2013-07-25

1002-8331（2013）23-0035-04

CNKI出版日期：2013-08-22 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130822.1439.015.html