以TV模型为例的西藏壁画数字图像修复技术研究

姜 军， 卓 嘎， 王朝霞， 涅涛远， 冯建尚

（1.西藏大学 工学院，西藏 拉萨 850000；2.西藏大学 学工处，西藏 拉萨 850000）

图像修复[1]最早是在艺术领域产生的，后来随着科技的发展，人们逐步将手工修复过度到了数字模拟修复，即在PC机上，利用图像处理软件建立一定的数学模型，在数学模型的基础上根据图像中的已知区域的相关信息，恢复图像缺失区域中的信息。数字模拟修复技术在艺术字画和旧照片中破损区域的补全恢复或目标物的移除和取代有很好的修复效果。

在众多的修复模型中，偏微分模型是比较热门的修复算法之一。该模型主要有BSCB，TV，CDD这3种主要的修复算子。BSCB算法[2]的主要思想是利用待修补区域上的残存边缘像素的信息，首先估计边缘等照度线[3]（isophote）的方向，然后将领域中的像素通过一定的方式将这些有用信息沿着估计出来的等照度方向传播到破损的区域中去，直到修复完成。由Rudin等人提出的全变分（Total Variation，TV）图像修复算法[4]则是BSCB算法微观到宏观的转变，即通过计算破损图像的能量方程最小化来达到图像修复的目的。CDD算子则是在TV算子的基础上增加惩罚值，避免了TV算子修复图像的边缘不连贯性。

文中主要研究偏微分方程修复模型中的一种模型：整体变分法（TV）修复算子，该模型适用于对划痕、污渍和文字等小目标区域的修复。

1 图像退化类型与评价函数

1.1 图像退化类型

图像修补属于图像复原[5-8]，而图像复原处理是建立在图像退化的数学模型基础上的。获取的图像，不仅包含图像自身的退化因素而且存在图像获取时的人为污染（曝光，角度等）。面对诸多复杂的退化因素，如果逐个建立模型，在实施修复的时候效率比较低下，但是综合分析退化类型，发现这些退化类型都可以看作是图像线性退化中的一部分，通过统一规划的思想，建立一个合适的系统退化模型来近似的模拟说明图像的退化模型。

在图像修复中，最初的图像污染并不是源自图像本身，而是在图像获取过程中，本身受到外界一些因素的影响，使得图像失真。因此，为了方便修复，笔者在图像修复之前，首先建立以下的图像退化模型。

图1 图像破损示意图Fig.1 Image damage schematic diagram

I0捕获的原始图像，A为待修复区域，Ω为整个图像区域，A/Ω持完整即没有丢失信息的区域，I代表退化图像，N表示外部破坏（如噪声抖动等），H为退化函数。（2）式中，符号*表示二维卷积运算，f（x，y）为缺失或污染函数。

1.2 评价函数

只有在知道更多H与N的情况下：均方误差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）才能最优化。

其中N，M分别是X方向、Y方向图像像素点的个数，fij和fIJ分别是原始像和重构图像在点（i，j）上的取值，L是图像中灰度取值的范围，所取范围不同L的值也不同。峰值信噪比（PSNR）越大说明图像修复效果越好。

综上所述，可以看出，在修补算子不变的情况下，当提取的MASK足够合适的时候，要想得到最佳效果，必须建立一定的图像模型，这也就是图像修补与图像恢复（去噪，清晰化）的最大差别。

2 TV模型介绍

用偏微分方程进行图像修复的基本思想是利用偏微分方程对图像建模，然后求解该方程，方程的解就是所期望的结果，修复算法的核心思想是利用物理学中的热扩散方程将待修补区域周围的信息传播到待修补区域中。TV模型最早是由Ruin提出的一种图像去噪模型，他在TV的去噪模型的基础上，提出了基于TV模型的图像修复方法，能在有噪声的情况下有效地对图像进行修复，并且得到较好的效果。TV模型修复算法主要利用偏微分方程求能量最小化泛函，再利用Lagrange乘子转换成无约束条件的极值问题，然后求解满足Euler-Lagrange的方程，方程的解就是图像的修复结果[9]。

图2 图像修补示意图Fig.2 Image repair plan

记D为待修复区域，E为待修复区域的外邻域，E为D扩展后区域的面积，u为修复后E∪D区域内的图像值。假设原图像被高斯白噪声所污染，白噪声方差为δ。r是非负实函数，要求函数的输入是非负数，定义等价函数：

并且满足以下噪声约束条件：

基于TV模型的图像修复的基本思想是寻找最小的能量泛函[10]。可以把需要修复的图像看作是一幅离散的三维函数图，既把所用图像的每一像素的灰度值看作是二维图像阵元（ij）所对应的函数值。离散后图像褶皱的多少就代表了图像的能量，皱褶越多，能量越大，要想找到最小的能量泛函，就需要图像平滑函数使图像尽量光滑。TV模型的能量函数[11]不仅可以通过最小化来达到抑制噪声的目的，而且还会对图像起一种平滑作用，这样不但使得跳变的边缘得到优化和保护，而且可以快速找到最小的能量泛函，完成修复。

在无噪声的情况下，TV模型可以表示为以下形式：

在有噪声的情况下，TV模型可以表示为如下形式：

3 实验结果与讨论

很多西藏壁画由于年代比较久远，表面有不同程度的脱落裂痕和人为污染，可以通过数字图像修复技术模拟修复。由于在RGB图像上面直接修复比较麻烦，而且修复效果不太好，可以利用分解思想，将一幅RGB图像分解为R，G，B 3个通道，然后逐个修复各个通道，最后再将3个通道组合起来，完成修复。

3.1 缺失图像修复

图像缺损即图像信息丢失，通过仪器扫描拍摄以后，在数字图像上进行修复填补就可以完成模拟修复。当一个地方有缺失的时候，首先确定被修复图像的大小，再利用逻辑运算提取掩模，人为选择阈值。在得到MASK后，找到最小能量泛函，控制迭代次数，然后开始更新修复区域内每一个点的值，利用周围信息的相似性，通过扩散蔓延，将缺失的部分填补，最后通过滤波将修复后的毛刺平滑，将各个通道组合，完成修复。

通过检测函数，可以得到表1结果。

3.2 污染图像修复

图像污染主要是像素增加，即在原图像的表面产生比较明显的像素差别，一般采用提取MASK，并利用周围像素点的扩散性，先将污染部分淡化，再将MASK填补，再通过滤波淡化噪声，完成修复。对于有噪声污染的图像，TV模型具有比较好的修复效果。

图3 以缺失图像为例（夏鲁寺人为破坏壁画）Fig.3 With missing image as an example （Shalu monastery human broken in fresco）

表1 迭代次数与PSNRTab.1 Iteration times and PSNR

图4 以污染图像为例（色拉寺文革期间被污染图像）Fig.4 Pollution image as an example（Sera during the cultural revolution was pollution image）

通过图5我们可以直观的看出，TV模型在处理有噪图像的时候较其他模型有修复效率高，修复效果好的优点，而且随着修复次数的增加，修复的效果也明显增加。因此得出TV模型在有噪图像处理的优越性。

4 结束语

图5 有噪图像不同模型下的处理结果Fig.5 Noise image processing results of different model

随着计算机时代的来临，数字图像修复技术，特别是基于变分PDE方法的图像修补技术已经慢慢地成为了图像修复的主流，应用于文物模拟修复具有很广阔的前景。目前的数字图像修复技术在理论与实际应用中已取得了一定的成果，但它还存在着一些不足，有待进一步的改进。基于变分PDE图像修补技术对处理照片中的划痕等小尺度损伤有较好的复原效果，但当图像受损面积扩大或者受损程度复杂以后，修复效果就会下降。由于该算法的修复灵魂是扩散，也就是将破损区域周边的的信息扩散到破损区域中，进而达到修复的目的。当遇到破损区域较宽或存在丰富纹理，完成修复后的图像就会变得模糊不清。而且此项技术的自动化比较差，不能自动寻找需要修复的破损区域。所以，无论是修复效果还是自动化程度都将是以后研究和突破的主要方向。期望通过自己的努力使得数字图像修复技术在西藏壁画数字文物保护中得到广泛的应用。

[1]张红英，彭启琮.数字图像修复技术综述[J].中国图象图形学报，2007，12（1）：1-10.

ZHANG Hong-ying，PENG Qi-cong.A survey on digital image inpainting[J].Journal of Image and Graphics，2007，12（1）：1-10.

[2]张红英，彭启琮，吴亚东.数字破损图像的非线性各向异性扩散修补算法[J].计算机辅助设计与图形学学报，2006，18（10）：1542-1546.

ZHANG Hong-ying，PENG Qi-cong，WU Ya-dong.Digital image inpainting algorithm for damaged images based on nonlinear anisotropic diffusion[J].Journal of Computer Aided Design&Computer Graphics，2006，18（10）：1542-1546.

[3]Bertalmio M，Sapiro G，Caselles V，et al.Image inpainting[C]//In：Proceedings of International Conference on Computer Graphics andInteractive Techniques， New Orleans，2000：417-424.

[4]Chan T F，Shen J H.Mathematical models for local non2 textureinpainting[J].SIAM Journal of Applied Mathematics，2001，62（3）：1019-1043.

[5]Chan T F，Shen J H.Non2texture inpainting by curvature2 drivendiffusions （CDD）[J].Journal of Visual Communication and ImageRep resentation，2001，12（4）：436-449.

[6]刘树昌，刘鹏，王延海.大容量高速视频图像传输技术研究[J].吉林大学学报：信息科学版，2011，29（1）：21-24.

LIU Shu-changa，LIU Peng，WANG Yan-hai.Research on large-capacity high-speed video image transmission technology[J].Journal of Jilin University：Information Science Edition，2011，29（1）：21-24.

[7]张春彦，赵岩，陈贺新.基于边缘检测的深度图与单视图配准算法[J].吉林大学学报：信息科学版，2011，29（3）：175-180.

ZHANG Chun-yan，ZHAO Yan，CHEN He-xin.Registration of depth and video data based on edge detection[J].Journal of Jilin University：Information Science Edition，2011，29（3）：175-180.

[8]邵向鑫，郭树旭，王朗.基于边缘扩展相位相关的图像拼接算法[J].吉林大学学报：信息科学版，2010，28（1）：95-99.

SHAO Xiang-xin，GUO Shu-xu，WANG Lang.Image mosaic algorithm based on extended phase correlation of edge[J].Journal of Jilin University：Information Science Edition，2010，28（1）：95-99.

[9]周珊珊，赵知劲，叶学义.采用TV及纹理合成技术的分层图像修复[J].计算机工程与应用，2011，47（23）：201-203.

ZHOU Shan-shan，ZHAO Zhi-jin，YE Xue-yi.Total variation and texture synthesis applied to multi-level image inpainting[J].ComputerEngineeringandApplications，2011，47（23）：201-203.

[10]祝轩，周明全，耿国华.曲率驱动与边缘停止相结合的非纹理图像修复[J].计算机科学，2008，35（12）：212-213.

ZHU Xuan，ZHOU Ming-quan，GENG Guo-hua.Non texture inpainting by combination of the curvature driven and edge stopping nonlinear diffusion[J].Computer Science，2008，35（12）：212-213.

[11]赵颜伟，李象霖.基于CDD模型的快速图像修复算法[J].计算机仿真，2008，25（10）：223-227.

ZHAO Yan-wei，LI Xiang-lin.A rapid image inpainting algorithm based on CDD model[J].Computer Simulation，2008，25（10）：223-227.