一类分数阶时滞微分系统的两度量稳定性

王培光，周彬彬

（1.河北大学电子信息工程学院，河北保定 071002；2.河北大学数学与计算机学院，河北保定 071002）

一类分数阶时滞微分系统的两度量稳定性

王培光1，周彬彬2

（1.河北大学电子信息工程学院，河北保定 071002；2.河北大学数学与计算机学院，河北保定 071002）

讨论了一类分数阶时滞微分系统.首先，引入锥的概念，给出了锥值分数阶时滞微分系统的Lyapunov函数.其次，发展了比较定理，得到了关于分数阶时滞微分系统与微分系统的新的比较定理.最后，通过新的比较定理，给出分数阶时滞微分系统的两度量稳定性的判断准则.

分数阶微分系统；时滞；两度量稳定性

MSC2010：34D20

近几十年来，分数阶微积分广泛应用于控制理论、流体力学、混沌和生物工程等领域，成为不可缺少的数学工具.因此，发展分数阶微分系统具有重大的意义.然而，在实际建立微分系统的过程中，不可避免地要出现某些无法估计的微小扰动，这些干扰使分数阶微分系统的解发生本质性的变化.因此，稳定性理论的研究就有其重要的理论和实用价值［1－5］.

对于微分系统的稳定性问题的研究，一般都是应用Lyapunov方法通过比较定理进行讨论，因此构造恰当的Lyapunov函数成为讨论问题的关键，然而Lyapunov函数构造很困难［6－7］.Lakshmikantham等［8］引入了锥值Lyapunov函数的概念，并且利用这种方法，得到了微分系统的比较定理和稳定性的相关结果.Liu等［9］利用锥值Lyapunov函数发展了比较定理.Akinyele等［10］利用锥值Lyapunov函数讨论了微分系统的稳定性.

本文利用锥值Lyapunov函数给出了关于分数阶时滞微分系统与微分系统的新的比较定理.通过这个比较定理对分数阶时滞微分系统进行了分析，给出该系统两度量稳定的判定准则.

1 预备知识

其中G∈C［R＋×PCτ，Rn］，PCτ＝｛φ∶［－τ，0］→Rn（τ≥0且为常数），φ（t）是连续函数｝，g∈C［R＋×Rn，Rn］，xt∈PCτ定义为xt（s）＝x（t＋s），－τ≤s≤0.

定义1 Rn中的子集K如果满足如下条件：Ⅰ）λK⊆K，λ≥0；Ⅱ）K＋K⊆K；Ⅲ）K＝K—；Ⅳ）K0≠Ø；V）K∩（－K）＝0，则称K为Rn上的锥，其中K—，K0及∂K分别表示K的闭集，内部和边界.

设x，y∈K，称x≤ky当且仅当y－x∈K；称x＜K0y当且仅当y－x∈K0.

定义2 称集合K＊＝｛φ∶φ∈Rn，对所有x∈K，（φ，x）≥0｝为K的伴随锥，如果K＊满足定义1的条件Ⅰ）－V）.

通过以上定义可以得到K＝（K＊）＊；x∈K0当且仅当（φ，x）＞0；x∈∂K当且仅对某些φ∈K＊0，K0＝K－｛0｝，（φ，x）＝0.

定义3 称函数g：D→Rn，D⊂Rn相对于K是拟单调非减的，如果对任意的x，y∈D且y－x∈∂K，存在φ∈K＊0，当（φ，y－x）＝0时，有（φ，g（y）－g（x））≥0.

为方便以后应用，给出如下记号.

Κ0＝｛a（u）∶a∈C［R＋，R＋］，单调递增且a（0）＝0｝.

Κ＝｛a∶a∈Κ0且严格单调递增｝.

Κ1＝｛b（x）∶b∈C［K，K］，关于K单调递增且x≤Kb（x）｝.

∑＝｛Q（x）∶Q∈C［K，R＋］，关于K单调递增且Q（0）＝0｝.

v0＝｛V（t，x）∶V∈C［R＋×Rn，K］，V（t，x）关于x满足局部Lipschitzian条件，且V（t，0）＝0｝.

Γ＝｛h∶R＋×Rn→R＋∶∀x∈Rn，h（·，x）∈PC，h（t，·）∈［Rn，R＋］，inf h（t，x）＝0｝.

S（h，ρ）＝｛（t，x）∶（t，x）∈R＋×Rn，h（t，x）＜ρ，h∈Γ，ρ＞0｝.

定义4 假设h0，h∈Γ，称系统（1）的解x（t，t0，φ）为

Ⅰ）（h0，h）稳定的，如果对任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（t0，ε）＞0，使得对任意的τ∈R＋，t≥τ，当h0（t0，φ）＜δ时，有h（t，x（t，t0，φ））＜ε，t≥t0.

Ⅱ）（h0，h）一致稳定的，如果对任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（ε）＞0，使得对任意τ∈R＋，t≥τ，当h0（t0，φ）＜δ时，h（t，x（t，t0，φ））＜ε，t≥t0.

定义5 假设Q0，Q∈Γ，称系统（2）的解y（t，t0，y0）为

Ⅰ）（Q0，Q）稳定的，如果对任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（t0，ε）＞0，当Q0（t0，y0）＜δ时，有Q（t，y（t，t0，y0））＜ε，t≥t0.

Ⅱ）（Q0，Q）一致稳定的，如果对任意ε＞0，t0∈R＋，存在δ＝δ（ε）＞0，当Q0（t0，y0）＜δ时，有Q（t，x（t，t0，y0））＜ε，t≥t0.

定义6 函数V∈v0关于系统（1）的Dini导数定义如下：

2 主要结果

参 考 文 献：

［1］ LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S，VASUNDHARA D J.Theory of fractional dynamic systems［M］.Cambradge：Cambradge Academic Publishers，2008.

［2］ MIHAILO P L，ALEKSANDAR M S.Finite－time stability analysis of fractional order time－delay systems：Gronwall's approach［J］.Mathematical and computer Modeling，2009，49：475－481.

［3］ KATJA K.Asymptotic properties of fractional delay differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218：1515－1532.

［4］ ZHANG Fengrong.A survey on the stability of fractional differential equation［J］.The european physical journal special tpoics，2011，193：27－47.

［5］ 王培光，候颖，刘静.一类分数阶微分方程的广义拟线性化方法［J］.河北大学学报：自然科学版，2011，31（5）：449－452.WANG Peiguang，HOU Ying，LIU Jing.Generalized quasilinearization for fractional differential equations［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2011，31（5）：449－452.

［6］ LSKDHMIKSNYHSM V，LEELA S，SAMBANDHAM M.Lyapunov Theory for fractional differential equations［J］.Communications in Applied Analysis，2008，12：365－376.

［7］ TRIGEASSOU J C，MAAMRI N，SABATIER J，et al.A Lyapunov approach to the stability of fractional differential equations［J］.Singnal Processing，2011，12：365－445.

［8］ LAKSHIMIKANTHAM V，LEELA S.Cone－valued Lyapunov functions［J］.Nonlinear Analysis，1977，1：215－222.

［9］ LI Kaien，YANG Guowei.Cone－valued Lyapunov functions and stability for impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，2008，69：2184－2191.

［10］ AKINYELE O，ADEYEYE J O.Cone－valued Lyapunov functions and stbility of hybrid systems［J］.Analysis，2001，8：203－214.

（责任编辑：王兰英）

Stability of two measures for fractional order time－delay differential system

WANG Peiguang1，ZHOU Binbin2
（1.College of Electronic and Information Engineering，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

One kind of the fractional order time－delay system was discussed.Firstly，introduced the concept of cove，and given the Lyapunov function of cove－value fractional order time－delay differential system.Secondly，developed the comparison theorem，and got a new comparison theorem on the fractional order time－delay system and fractional system.Finally，concluded the stability criterion of two measures for fractional order time－delay system by the new comparison theorem.

fractional order differential system；time－delay；stability of two measures

O175.1

A

1000－1565（2013）02－0113－05

10.3969／j.issn.1000－1565.2013.02.001

2012－04－07

国家自然科学基金资助项目（10971045）

王培光（1969－），男，黑龙江哈尔滨人，河北大学教授，博士生导师，主要从事微分方程与控制理论的研究.E－mail：pgwang＠hbu.edu.cn