勾股定理中的数学思想方法

王亮声

一、分类讨论思想

例1 已知直角三角形的两边的边长分别为3和5，求该三角形的第三边的边长。

分析 已知直角三角形的两边，未指明是直角边还是斜边，因此边5可能是直角边，也有可能是斜边，所以要进行分类讨论求解。

解 根据三角形的边角大小关系可知，3一定是直角边，而5可能是直角边，也可能是斜边，故可分类求解。

（1）当边5为直角边时，三角形的第三边为斜边，长度为==。

（2）当边5为斜边时，三角形的第三边为直角边，长度为===4。

所以这个三角形的第三边的边长为或4。

点评 直角三角形的第三边分为两类：直角边和斜边。当已知两边求第三边时，要分析其边是直角边还是斜边，若题目未指明，则要进行分类讨论求解。

二、方程思想

例2 如图1所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的长。

分析 折叠就是轴对称，因为△ADE与△AFE关于AE对称，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF=6 cm，所求EF在

Rt△ECF和在Rt△AEF中，但都只知道一边，不能求解。而在Rt△ECF中，FC=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。

解 因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，

所以BF===6 cm。

所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。

设EC=x cm，则EF=DE=（8-x）cm。

在Rt△ECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。

则EF的长为5 cm。

点评 勾股定理只能用于已知直角三角形的两边求第三边。当在直角三角形中，只知一边，又知另两边的相应关系时，可用勾股定理建立方程（组），通过解方程（组），即可求得该三角形的边长。

三、化归思想

例3 如图2，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的长。

分析 题中的三角形未确定是直角三角形，不能用勾股定理，由条件∠B=60°，想到构造含30°角的直角三角形，为此作AD⊥BC于D（如图3所示），则有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长。

解 作AD⊥BC于D，因为∠B=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。

根据勾股定理，在Rt△ABD中，AD===15。

根据勾股定理，在Rt△ACD中，CD===65。

所以BC=BD+DC=65+15=80。

点评 利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用。当题目中没有垂直条件时，经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理。

四、转化思想

例4 如图4所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5。求线段EF的长。

分析 已知BE、CF，要求EF，但这3条线段不在同一三角形中，所以关键是转化，根据直角三角形的特征以及三角形中线的特殊性质，不妨先连接AD。

解 连接AD。

因为∠BAC=90°，AB=AC。又因为AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB，AD⊥BC，且∠BAD=∠C=45°。

因为∠EDA+∠ADF=90°。又因为∠CDF+∠ADF=90°。

所以∠EDA=∠CDF。所以△AED≌△CFD（ASA）。

所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。

在Rt△AEF中，根据勾股定理得，

EF2=AE2+AF 2=52+122=132，所以EF=13。

点评 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过对本题的解答，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。