数形结合思想在线性规划中的应用

闫凤芹

摘要：应用线性规划知识判断平面区域，求目标函数的最值在高考中常以选择或填空的形式出现，都是以中档题为主，解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想，将代数问题转化为几何问题，借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。教学中教师要注意创设问题情境，调动学生的学习热情，促进他们积极主动地思考，通过实践，总结结论，实现课堂教学的高效化。

关键词：数形；教学；规划；案例；应用

一、请同学们画出下列不等式表示的平面区域

1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0

2.若将上述不等式中的等号去掉，结论如何

设计目的：

1.理解数与形的转化，体会数形结合的思想。

2.通过图像理解每个不等式所表示的区域的区别与联系。

教学过程：首先让学生在电脑上用几何画板画直线x+y-2=0（无电脑的学校可让学生在练习本上画）。引导他们发现一条直线将平面分为两部分，每一部分的点的坐标代入直线方程所得到的不等式是一样的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一点验证就行，从而总结结论：画二元一次不等式，Ax+By+C≥0（≤0）的平面区域常采用“直线定界，选点定域”的方法，不等式有等号时，直线画成实线，无等号时，直线画成虚线。

二、画出下列不等式组3≤2x+y≤96≤x-y≤9 表示的平面区域

设计目的：借助图像的直观性，将代数问题几何化，使学生清楚画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

教学过程：借助多媒体教学手段做出四条直线：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分别找不等式所代表的平面区域取其交集，最后得到结论：该不等式组所表示的平面区域为平行四边形。

三、（2011新课标高考）

若变量满足约束条件3≤2x+y≤96≤x-y≤9 ，则z=x+2y的最小值是

设计目的：借助高考题，使学生领会求线性目标函数的最值体现的数形结合思想。

教学过程：

1.做出可行域即不等式组所表示的平面区域。

2.理解的几何意义。

3.做出目标函数所表示的平行直线系中的特殊直线，并且将之平移，在可行域中找到最优解所对应的点。

4.求出线性目标函数的最大值或最小值。

5.总结结论：线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得。当表示目标函数的直线与可行域的边界平行时，其最优解有无数个。

四、求取值范围

1.已知函数满足不等式组x≥1y≥0x-y≥0，则■的取值范围是

（ ）

A.[-■，1） B.[-1，1） C.（-1，1） D.[-■，1]

2.已知实数满足不等式组x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。

设计目的：近几年高考有关线性规划的考题中，有许多试题是结合其他知识点的综合题，在作出可行域后，要充分利用代数式本身的几何意义，解决其最值问题。

教学过程：

1.引导学生理解■所表示的几何意义，即动点（x，y）与定点（-1，1）连线的斜率，而■的几何意义即动点（x，y）与定点（0，0）的距离。

2.引伸：

若1题改为求■最值又如何处理呢？

运用配凑手段： ■=■=1+■实质上仍然研究斜率的变化。

若2题改为求最值又该如何解呢？

通过以上教学片断可使学生清楚利用线性规划的知识理解高中数学中非线性函数的最值问题，主要是利用其代数式的几何意义运用数形结合的思想加以解决。利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题既形象又直观，既可提高学生学习的热情，又使学生掌握了知识。

参考文献：

阳志长，还黑板给学生，构建高效课堂，中学数学教学参考（上旬） 2011.7

【责编 张伟飞】