浅析“一次函数在疑难问题和生活中的作用”

2013-04-29 02:19孙昌余
考试·中考版 2013年5期
关键词:运往气量柑橘

孙昌余

一次函数是函数中应用最普遍,最简单的一种函数.它涉及了多种函数方法和思想,比如数形结合,分类讨论这些思想,还有待定系数法,排除法等方法.

一次函数包括以下方面的运用:

一、 利用图像和题目中给出的数据进行分析和计算(数形结合).

二、 对于有多种答案或方法的题目进行分类计算,在某些特定题目中还可选择最佳答案(分类讨论).

三、 一次函数还可以解一些用一般方法解不了或很难解的题型.四、在生活中也能够解决一些数据复杂多变的数学问题.各种类型的例题可以反映不同的思想:

例1 对于一次函数y=(2k-5)x+(k-4).(1)若其图像经过第一,三,四象限,化简+.(2)若函数为正比例函数,且与y=mx的图像关于x轴对称,求m的值.

分析 要解此题,需先画出一次函数y=(2k-5)x+(k-4)的图像,如图1.∵图像经过一,三,四象限,∴2k-5>0,k-4<0,根据这两个条件求出k的取值范围,就可以解第(1)题了.而第(2)题,∵该函数是正比例函数,∴k-4=0且2k-5≠0,再求出此时k的值以及函数解析式∵两正比例函数的图像关于x轴对称,系数值互为相反数,∴m的值等于此函数解析式中“k”的相反数的值.

例题1 主要是考察我们对函数图像的理解及运用,其中还运用了数形结合这种比较常用的数学思想,像这种题型的题目,并不少见,在函数图像上得出的结论必须很好地运用在题目中,才能更好地解决题目.

例2 向阳村建起了天然气供应站,气站根据实际情况,每天从零点开始至凌晨4点,只打开进气阀和供气阀,20:00——24:00只打开供气阀,已知气站每小时进气量和供气量是一定的,图2反映了某天储气量y(米2)与x(小时)之间的关系:

(1) 求0:00——20:00之间气站每小时增加的储气量;

(2) 求20:00——24:00时,y与x的函数关系式,并画出函数图像;

(3) 照此规律运行,从这天零点起三昼夜内,经过多少小时气站储气量达到最大?并求出最大值.

分析 由图2可知在0:00——4:00之间气站储气量从30m3增加到230m3,那么0:00——4:00之间气站每小时增加的储气量就是增加的气量和时间的商;同理可得4:00——20:00之间气站每小时增加的储气量,最后再算出气站每小时的供气量.

在第(2)小题中,用第(1)小题求出的气站每小时供气量算出24:00时的储气量,再用待定系数法设函数关系式为y=kx+b,最后求出函数解析式,画出函数图像.

通过第(2)小题算出的24:00时气站储气量再算出每天储气量增加的数量,再由图3可知,每天20:00时气站储气量达到最大值,因此,三昼夜内,第三天的20:00时,即经过了24×2+20=68小时,气站的储气量达到最大,最后用238加上2乘以每天储气量增加的数量所得出的答案就是储气量的最大值.

例2体现了一次函数在生活中的应用,其中最大的特点就是运用了待定系数法,巧妙地求出所画函数图像上的一个未知点的坐标,并求出函数解析式.同时也说明了看图解题时,要注意转折点以及直线方向上的变化,并从直线上点的坐标分析出一些必要的关系.

例3 我市某乡A,B两村盛产柑橘,A村有柑橘200吨,B村有柑橘300吨.现将这些柑橘运到C,D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C,D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C,D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元.

(1) 求出yA,yB与x之间的函数关系式;

(2) 试讨论A,B两村中,哪个村的运输费用较少;

(3) 考虑到B村的经济承受能力,B村的柑橘运费不得超过4830元,在这种情况下,怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.

分析 这道题所涉及的数据多,需要列表格(如上表),由题意得,A村运往C仓库x吨柑橘,运往D仓库就是(200-x)吨;C仓库已有x吨柑橘,还需(240-x)吨,所以B村要运往C仓库(240-x)吨柑橘,而D仓库已有(200-x)吨柑橘,B村还需运往此处(60+x)吨.

根据表格列出函数关系式:yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200);yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680(0≤x≤200).再对A,B两村的运费高低进行分类:yA=yB;yAyB.分别计算三种情况下各自x的值.由第(3)小题的题意得yB≤4830,接着用代入法把yB=3x+4680代入yB≤4830求出x的取值范围.设两村运费之和为y,y= yA+yB=-2x+9680,由于y随x的增大而减小,所以当x的值最大时,两村运费之和最小.

例题3 也是一道一次函数运用在生活中,并且充分体现分类思想的典型例题.遇到这种问题,特别是在讨论函数关系式,条件过多而又复杂时,可以利用表格法使条件进一步明了.这道题还需注意的一个地方是:在利用一次函数的单调性解决实际问题时,要注意x的取值范围.

总得来说,一次函数是指由一个变量和一些常量,通过任何方式(有限的或无限的)形成的解析表达式,它是通过一些其它的量经过一系列的运算而得到的.一次函数不仅能解决疑难问题,还能运用在一些生活问题中,比如当时间一定时,路程是速度的一次函数;当单价一定时,总价是数量的一次函数等等.一次函数就是这么一个奇怪的东西,只有认真,深入地去研究它,才能发现它所蕴藏的秘密.

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