浅析“一次函数在疑难问题和生活中的作用”

孙昌余

一次函数是函数中应用最普遍，最简单的一种函数.它涉及了多种函数方法和思想，比如数形结合，分类讨论这些思想，还有待定系数法，排除法等方法.

一次函数包括以下方面的运用：

一、 利用图像和题目中给出的数据进行分析和计算（数形结合）.

二、 对于有多种答案或方法的题目进行分类计算，在某些特定题目中还可选择最佳答案（分类讨论）.

三、 一次函数还可以解一些用一般方法解不了或很难解的题型.四、在生活中也能够解决一些数据复杂多变的数学问题.各种类型的例题可以反映不同的思想：

例1 对于一次函数y=（2k-5）x+（k-4）.（1）若其图像经过第一，三，四象限，化简+.（2）若函数为正比例函数，且与y=mx的图像关于x轴对称，求m的值.

分析 要解此题，需先画出一次函数y=（2k-5）x+（k-4）的图像，如图1.∵图像经过一，三，四象限，∴2k-5>0，k-4<0，根据这两个条件求出k的取值范围，就可以解第（1）题了.而第（2）题，∵该函数是正比例函数，∴k-4=0且2k-5≠0，再求出此时k的值以及函数解析式∵两正比例函数的图像关于x轴对称，系数值互为相反数，∴m的值等于此函数解析式中“k”的相反数的值.

例题1 主要是考察我们对函数图像的理解及运用，其中还运用了数形结合这种比较常用的数学思想，像这种题型的题目，并不少见，在函数图像上得出的结论必须很好地运用在题目中，才能更好地解决题目.

例2 向阳村建起了天然气供应站，气站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀和供气阀，20：00——24：00只打开供气阀，已知气站每小时进气量和供气量是一定的，图2反映了某天储气量y（米2）与x（小时）之间的关系：

（1） 求0：00——20：00之间气站每小时增加的储气量；

（2） 求20：00——24：00时，y与x的函数关系式，并画出函数图像；

（3） 照此规律运行，从这天零点起三昼夜内，经过多少小时气站储气量达到最大？并求出最大值.

分析 由图2可知在0：00——4：00之间气站储气量从30m3增加到230m3，那么0：00——4：00之间气站每小时增加的储气量就是增加的气量和时间的商；同理可得4：00——20：00之间气站每小时增加的储气量，最后再算出气站每小时的供气量.

在第（2）小题中，用第（1）小题求出的气站每小时供气量算出24：00时的储气量，再用待定系数法设函数关系式为y=kx+b，最后求出函数解析式，画出函数图像.

通过第（2）小题算出的24：00时气站储气量再算出每天储气量增加的数量，再由图3可知，每天20：00时气站储气量达到最大值，因此，三昼夜内，第三天的20：00时，即经过了24×2+20=68小时，气站的储气量达到最大，最后用238加上2乘以每天储气量增加的数量所得出的答案就是储气量的最大值.

例2体现了一次函数在生活中的应用，其中最大的特点就是运用了待定系数法，巧妙地求出所画函数图像上的一个未知点的坐标，并求出函数解析式.同时也说明了看图解题时，要注意转折点以及直线方向上的变化，并从直线上点的坐标分析出一些必要的关系.

例3 我市某乡A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨.现将这些柑橘运到C，D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元.

（1） 求出yA，yB与x之间的函数关系式；

（2） 试讨论A，B两村中，哪个村的运输费用较少；

（3） 考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.

分析 这道题所涉及的数据多，需要列表格（如上表），由题意得，A村运往C仓库x吨柑橘，运往D仓库就是（200-x）吨；C仓库已有x吨柑橘，还需（240-x）吨，所以B村要运往C仓库（240-x）吨柑橘，而D仓库已有（200-x）吨柑橘，B村还需运往此处（60+x）吨.

根据表格列出函数关系式：yA=20x+25（200-x）=-5x+5000（0≤x≤200）；yB=15（240-x）+18（60+x）=3x+4680（0≤x≤200）.再对A，B两村的运费高低进行分类：yA=yB；yAyB.分别计算三种情况下各自x的值.由第（3）小题的题意得yB≤4830，接着用代入法把yB=3x+4680代入yB≤4830求出x的取值范围.设两村运费之和为y，y= yA+yB=-2x+9680，由于y随x的增大而减小，所以当x的值最大时，两村运费之和最小.

例题3 也是一道一次函数运用在生活中，并且充分体现分类思想的典型例题.遇到这种问题，特别是在讨论函数关系式，条件过多而又复杂时，可以利用表格法使条件进一步明了.这道题还需注意的一个地方是：在利用一次函数的单调性解决实际问题时，要注意x的取值范围.

总得来说，一次函数是指由一个变量和一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式，它是通过一些其它的量经过一系列的运算而得到的.一次函数不仅能解决疑难问题，还能运用在一些生活问题中，比如当时间一定时，路程是速度的一次函数；当单价一定时，总价是数量的一次函数等等.一次函数就是这么一个奇怪的东西，只有认真，深入地去研究它，才能发现它所蕴藏的秘密.