审视2012中考动态几何问题的剖析

郎正松

初中数学中，动态几何问题是近几年来全国各地中考数学试题中的热点问题，也是学生得分率较低的问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，按某种规律进行的问题探索，这类问题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题能力.

此类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题，其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论如何，我们都要注意到“动中求静”在“静中求解”找到相应的关系式，把想知道的量用常量或自变量的关系式表示出来，如何帮助学生分析运动型几何问题，怎样才能更好地解决此类问题，本文从以下几个试例中加以分析.

一、 点在直线（线段）上运动

例1 （2012·扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线L是抛物线的对称轴.

（1） 求抛物线的函数关系式；

（2） 设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3） 在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析 本题第（2）.（3）问，难道较大，也是一道单动点问题，（2）问题中求的点P在直线L上运动的，欲求△PAC的周长最小时，其中AC是定值，PA+PC是变量，也就是转化PA+PC的最小值，怎样才能使处于直线L同侧的两条线段PA、PC为直线呢？利用“对称原理”实现 “化同侧点为异侧点”将折线和转化为直线段（两点之间线段最短），点A关于直线L的对称点是点B，连接BC交直线L的点为P点，故只要将B、C的坐标求出，设直线BC的函数关系式为y=kx+b.直线x=1与直线L相交的点为所求点，即当x=1代入y=kx+b求出P点的坐标即可.则此时的点P，使△PAC的周长最小.

解法 设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3。∴直线BC的函数关系式y=-x+3.当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）.

例2 （2012·天门）如图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm，点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）.

（1） 当t=1秒时，S的值是多少？

（2） 写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围.

（3） 若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由.

分析 本题是一道双动点问题，欲求S与T之间的函数解析式.首先要明确△EFG的位置，以及点E，F，G三点的运动方向和运动速度，然后分析它们运动过程中的一般位置和特殊位置，找准它的临界点，即“以动求静”“静中求解”采用分类讨论的数学思想.例2（2）问题关键点是F，有可能在线段BC上，也可能在线段CD上，这样就确定了时间是t=2，t=4将整个运动过程分为0≤t≤2； 2

此时AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，S=8t2-32t+48（0≤t≤2）

如图乙，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，

当2

（3）如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，

在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，

①若=，即=，解得t=，

又t=满足0≤t≤2，所以当t=时△EBF∽△FCG

②若=，即=，解得t=，

又t=满足0≤t≤2，所以当t=时△EBF∽△GCF，

综上知，当t=或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似

线段在角内运动

例3 （2012·泉州） 已知：A、B、C不在同一直线上.

（1） 若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

① 如图①，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；

② 如图②，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；

（2） 若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图③，当∠MAN =60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

分析 例3（2）问是本题的难点，也就是线段在角内的滑动，导致图形的位置，数量关系的变化，但在“变”中探求“不变”能真实地考查学生的数学能力，在解决此类问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的.但添加辅助线几乎都遵循这样一个原则“构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形，并善于使用前题所采用的方法和结论.本题（2）就是要添加辅助线连接AP，并取AP的中点K，再分别连接BK、CK，使四点A、B、P、C共圆，使∠BAC是圆周角，BC是圆中的弦.运用1）中②的结论：可以得出sin∠A=.

解法 如右图，保持不变.

连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK

同理可得BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK.点A、B、P、C都在半径

为AP的⊙K上，由（1）中②可知，sin∠MAN=，

∴AP ==（为定值）.故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离保持不变.

面在平面直角坐标系中运动

例4 （2012·宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2

y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.

（1） 求M，N的坐标；

（2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；

（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.

分析 本题综合考查了一次函数，二次函数，矩形的性质，图形的平移等知识，关键是解决第（2）问，此题是一道典型的面动问题，图形在运动变化，可能满足条件的情况不止一种，也就是通常所说的两解或多解，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深刻的把握题干，反复认真的审题，明确图形在某一个特殊位置和一般位置，所产生出什么样的几何图形.本题（2）关键是确定一些关键点：如B在l1上（第0秒）、A在l1上（第1秒）、C在l1上（第4秒）、D在l1上（第5秒）、B与N重合（第6秒）、A与N重合（第7秒）、所以分五种情况讨论；分别画出图形，再表示出重叠部分面积.

解法 （2）如下图：当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t，则高是t，则面积是· t ·t=t2；

当1

当4

S=t2+t-；

当5

当6

则：y=t （0≤t≤1）（t-） （1

建议与总结

1. 提高学生的识图能力

平时教学中的黑板是很难使图形运动变化起来，建议用多谋体软件，制作运动几何图形课件，使点、线、面运动起来，让学生经历图形运动变化的过程.使学生多次体验动态几何问题的感性认识.增强对解决动态几何图形的信心.

2. 提高学生的解题能力

动态几何图形运动类型多样，变化复杂，知识广泛，建议要结合不同的问题，提炼共同的解题方法，要求学生学会归纳总结；动态几何图形问题一般有三个步骤：①通常设出初始变量元素X ②用初始变量X表示图形其他的变量 ③运用已学知识建立方程或函数来解决问题.

3. 提高学生的数学素养

解决动态几何图形问题，要能够利用图形运动过程，让学生识别图形中的特殊位置和一般位置，领悟数学思想方法，能够分清情况，分类讨论解决问题，要让学生亲自动手实践画出特殊位置和一般位置的图形.让学生深刻理解特殊与一般，然后运用数形结合，分类讨论等数学思想方法来解决动态几何问题.动态几何题不仅体现了新课程提出：“学生的学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”而且有效地考查了学生观察、实验、操作、猜想、验证、推断等各种能力，是中考试题的一个亮点.