基于分形迭代的图像表达与构造方法

祝传刚

摘 要：分形几何可以准确地描述自然界里的复杂图形，该文总结了分形图像理论并利用计算机实现了图像的仿真表达，提出了利用分形迭代参数表征图像的方法，为目标匹配提供了新的思路。

关键词：分形图像 迭代函数系统 仿真

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）02（c）-00-02

几何学是研究物体形状及其结构关系的一门自然学科，欧几里德几何学将物体简化为简单的点、线、面，并通过解析几何对点、线、面进行公式化表述。大自然中广泛存在的花草、山脉，河流、闪电、星系等客观物体，其内部结构复杂多样，变化无穷，利用传统欧几里德几何学无法描述这些不规则物体或图形，只得将这些自然形态的图形标上“病态”标签而加以排除，因此，传统欧几里得几何理论做不到“放之四海而皆准”。1967年，美国的《科学》杂志上发表了一篇题为《英国的海岸线究竟有多长？》的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析：当你用一把固定长度的直尺来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似，因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的，随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大，如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。海岸线的长度是多少取决于尺子的长短。

Mandelbrot指出：当采用不同尺度的尺子去测量海岸线长度时结果会不一样，很显然，欧几里得几何的长度概念在处理海岸线的长度时遇到了困难，1975年，Mandebrot提出用“Fractal”（分形）一词来描述这种自然形态，分形的理论就此萌芽并迅速发展起来，曼德布罗特也自然而然地成为了分形理论的奠基人。曼德布罗特对分形的定义：”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.” 经过发展，分形几何理论体系逐步得以确立。从分形研究的发展进程来看，许多概念诸如自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形等逐渐建立起来，标志着分形理论不断走向繁荣[1]。

在自然科学中，具备分形特征的例子比比皆是，利用分形几何理论可以实现对分形对象的准确描述，并可以利用计算机模拟出具备分形特征的物体或图象，迭代函数系统（IFS）就是描述分形对象的有力工具[2]。

1 迭代函数系统的分形理论

定义1：度量空间与定义在其上的一有限个的压缩映射族

组成一迭代函数系，记为IFS。

，若的压缩比为，则

称为IFS的压缩比。

定理1 设是完备度量空间上的IFS，压缩比为c的变换定义为：，

则为上的压缩比为c的压缩映射，即，则存在不变集，满足

且，

定理1 中的不变集称为该IFS的吸引子。

定理2 设为完备度量空间上的压缩比为，则带凝聚的双曲IFS，变换定义为：

则是完备度量空间上带有压缩比为C的压缩映射，即，且存在唯一的不动点

，则

2 迭代函数系统仿真

仿射变换是实现分形计算的重要方法，维欧几里得空间中的仿射变换具有下面的形式：，其中是上的线性变换，而b是中的一个矢量。仿射变换可以使平移、旋转、伸缩以及反射的组合[3]。

二维仿射变换为：，

其中，a，b，c，d，e，f为仿射变换矩阵元素，谢尔宾斯基三角形的仿射变换矩阵如表1所示，计算模拟结果如图1所示。

图1 谢尔宾斯基三角形的计算模拟结果（迭代次数分别为1，3，9次）

橛子树的仿射变换矩阵如表2所示，计算模拟结果如图2所示。

图2 橛子树的计算模拟结果（迭代次数分别为9次，18次，90次）

从模拟结果可以看出，在自仿射变换相关参数设定合理的情况下，计算模拟程序很好地模拟了谢尔宾斯基三角形和橛子树的形状，对其他分形图像的模拟也取得了很好的结果。

3 结语

模拟结果表明，具备分形特征的图像可以由少数几个合理的参数进行表征，而自然界的图像虽然不具备严格的自相似性，但都具备统计学自相似性或局部自相似性，因此，可以通过自仿射变换实现自然界实际图像的压缩。从军事角度考虑，这些看似复杂的图像，其信息量并不大，可以利用迭代系数对图像目标进行自动识别，由于参数决定了图像的细节，因此基于参数的图像目标识别方法为目标自动识别提供了一条新途径。

参考文献

[1] 曹磊，韦惠.分形几何的图像压缩研究[J].模式识别与人工智能，1994（2）.

[2] 张梁斌，周必水.自适应遗传算法与分形图像压缩结合的新方法[J].计算机应用研究，2006（7）：249-252.

[3] 李丹，张梁斌.基于Jacquin分形法图像编码的matlab仿真实现[J].万里学院学报，2011（5）：80-84.