一种改进的图像盲复原算法

李青青 李建建

摘 要：图像盲复原是在点扩散函数未知的情况下从退化观测图像中恢复出原图像的高频细节。本文给出了一种交替进行Lucy-Richardson恢复和全变差正则化的盲图像恢复算法。算法将图像盲恢复问题分解成图像恢复和模型辨识两个关联的子问题。在模型辨识阶段，采用全变差正则化估计系统的点扩散函数；在图像恢复阶段，使用Lucy-Richardson算法和奇异值分解相结合的方法恢复图像。实验结果证明，该方法能更好的抑制噪声、提高图像的分辨率。

关键词：Lucy-Richardson；图像盲复原；奇异值分解；全变差正则化

图像在获取过程中，不可避免地会受到成像体制、噪声及场景的影响，从而导致目标细节丢失，图像分辨率下降。为了增加退化图像的可理解性和目标的可识别性，众多研究人员采用不同的处理技巧和估计准则提出了不同的复原方法。由于引起图像退化的因素众多且性质不同，故每种复原方法都有其特殊的应用场合，其典型代表为Lucy-Richardson（LR）算法[1，2]。LR算法假定图像服从泊松分布，采用最大似然法进行退化图像的迭代复原。当噪声较小时，该算法具有良好的恢复效果，通过多次迭代可收敛至稳定解。其二，基于正则化理论的复原方法。正则化方法根据图像的先验信息，通过添加正则项或“惩罚”项，将图像复原这一病态问题转化为良态问题，从而求解出一个有意义的、稳定的近似解。其典型代表为Chan[3]等提出的全变差正则化方法。该算法具有计算复杂度低，恢复效果好的特点，并且从理论上证明了图像是逐片光滑时，全变差正则化比二次正则化能更好地恢复图像边缘[5]。然而，无论是LR算法还是全变差正则化算法都未充分考虑系统的点扩散函数（或模糊卷积矩阵）和噪声对复原结果的影响。例如当噪声较大时，LR算法的复原结果会出现一些明显“斑点”。这些“斑点”噪声表明LR算法存在放大噪声的缺陷。文献[4]针对高斯模糊类型噪声，对LR算法进行改进，通过迭代不断修正点扩散函数（Point Spread Function，PSF），对重建后的图像进行边缘检测，通过形态学膨胀和零填充方法掌握其边缘信息，有效地去除了边缘环现象。文献[5]提出了一种交替使用小波去噪和全变差正则化的盲图像恢复算法，其可被称之为交替去噪正则化盲复原方法。该方法将图像复原问题分解为图像去噪和图像恢复两个问题，可以交替采用图像去噪和图像恢复算法求解。模型辨识阶段，使用全变差正则化算法估计点扩散函数；图像恢复阶段，使用小波去噪和全变差正则化相结合的算法恢复图像。经实验证明，该方法能有效估计系统的PSF，提高图像的分辨率。然而，该算法亦可改进。

本文联合使用LR算法、全变差正则化和奇异值分解[6]，提出了一种盲图像恢复的迭代算法。算法交替求解两个问题： 模型辨识阶段使用全变差正则化；图像恢复阶段使用LR算法和基于SVD的图像去噪算法。仿真结果表明，本文提出的算法具有较强的去噪复原能力。

1 本文算法

1.1 图像降质模型

设成像系统具有线性和空移不变性，且噪声为加性噪声，则成像系统降晰的数学模型可简单表示为：

其中u（x，y）为原始图像，f（x，y）降晰后的图像，h（x，y）为系统的PSF，反映了系统对图像的影响，一般不能精确已知，n（x，y）为噪声。式（1）也可写成矩阵形式即：

其中，f，u，n分别代表退化图像、原图像和观测噪声，且均为一个行堆叠形成的MN×1列向量，H为PSF形成的MN×MN阶的块循环矩阵即模糊卷积矩阵。

1.2 图像恢复

LR算法是一种典型的迭代复原算法，最终收敛于泊松统计模型的最大似然解[7]。根据贝叶斯理论，它假定观测图像、PSF、和原始图像服从某个概率统计模型，通过迭代获得u（x，y）的最大似然估计，即

因此根据不同的统计模型，会产生不同的估计方法。假定 和un（x，y）分别代表第hn（x，y）次迭代的图像估计和点扩散函数估计，则第n次图像估计为

其中∑h（x，y）=1，h（-x，-y）=h（x，y），初始条件为u0（x，y）=f（x，y），其中f（x，y）为系统获取的降晰图像。

虽然，通过多次迭代可获得复原图像和PSF的估计，但LR算法的计算量大大增加，同时它对噪声还相当敏感。当迭代次数变大时，复原图像会变得比退化图像更加模糊，且由于点扩散函数的不准确性，整个图像会产生“振荡”波纹。因此，要获得良好的恢复效果就必须进行模型辨识和抑制噪声。故在每次复原后，本文算法对恢复结果进行SVD滤波，并采用其他方法来对成像系统的PSF（或模糊卷积矩阵H）进行辨识，提高LR算法的复原质量。

对于图像矩阵而言，较大的奇异值及其特征向量对应的是图像信号，而较小的奇异值及其特征向量表征的是图像中的噪声。合理的选取截取准则，将某些较小的奇异值置零，可有效去除噪声的影响。本文采用文献[6]中的方法进行SVD去噪。

1.3 模型辨识

文献[3]在没有点扩散函数和图像先验知识的前提下，利用全变差正则化方法对图像进行恢复，其代价函数为

其中α1，α2为正则化参数。它们控制着图像迭代恢复过程中点扩散函数（或模糊卷积矩阵H）和过渡图像的置信度。▽u和▽H分别表示u和H的梯度。

综上所述，本文算法的模型框图如图1所示：

2 实验结果及分析

仿真试验中，全变差正则化的参数参照文献[3]中的方法来选择。实验中选用半径为9的圆盘状点扩散函数对标准图像进行模糊，并添加均值为0，方差为30的高斯白噪声。最后，分别用本文算法与LR算法、交替去噪正则化盲复原算法对降质图像进行复原，其结果如图2所示：

由图2（c）可知，受噪声和PSF估计不准确的影响，LR算法对卫星轮廓恢复的能力有限，同时将噪声的放大使得图像的分辨率进一步降低，这与前面的论述相印证。由图2（d）可知，交替去噪正则化盲复原算法的恢复效果明显优于LR算法。图像中仅存在少量的噪声且卫星的轮廓变的更加清晰，但与图2（e）相比，整个图像对比度较低。通过分析图2（e）可知，本文给出的算法能有效抑制噪声、恢复图像中丢失的高频细节、增强图像的对比度，并最终提升了图像的分辨率。以上结论亦可从PSNR看出。本文算法的PSNR比交替去噪正则化盲复原算法高出了0.34dB，有了较大提高。

3 结语

图像盲复原问题一直是一个颇具挑战性的问题，其目的是在恢复图像高频细节的同时平滑噪声。本文在LR算法的基础上进行改进，给出了一种融合SVD和全变差正则化的盲图像恢复算法。在噪声及系统的PSF未知的情况下，将图像盲复原问题分为两个相关子问题即图像恢复和模型辨识。在模型辨识阶段，采用全变差正则化估计系统的PSF；在图像恢复阶段，使用SVD滤波和LR算法相结合的恢复算法。实验结果表明，本文算法能获得更好的恢复效果。

[参考文献]

[1]闰河，闰卫军，李唯唯.基于Lucy-Richardson算法的图像复原[J]. 计算机工程，2010，36（15）：204-210.

[2]孔祥龙，李玉同，远晓辉，等.Lucy-Richardson算法用于针孔图像的恢复[J].物理学报，2006，（5）：2364-2370.

[3]Chan T F and Wong C K.Total variation blind deconvolution [J].IEEE Trans.on Image Processing，1998，7（3）：370-375.

[4]厉丹，钱建生，芦楠楠，田隽.高斯模糊噪声图像的图像复原算法的改进[J].计算机应用与软件，2010，27（10）：14-16.

[5]周祚峰，水鹏朗.交替使用小波去噪和全变差正则化的盲图像恢复算法[J].电子与信息学报，2008，30（12）：2913-2915.

[6]季维勋，李燕民，李维国.一种新的基于SVD图像降噪方法的探究[J].科学技术与工程，2010，10（20）：4950-4953.

[7]赵剡，张怡，许东.基于总变分规整化的湍流退化图像复原RL算法. 中北大学学报（自然科学版）.2007，28（1）：70-72.