浅谈高中数学“应用问题”的教学

李德山

摘要：培养和提高学生的数学应用意识，是中学数学教学的迫切要求，在中学数学教学的始终都应注重学生应用意识的培养。高中数学新教材在每章开头的序言，问题引入，例、习题，"实习作业"和"研究性课题"中都编排了大量的应用问题，应根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学，培养学生的应用意识和应用能力。

关键词： 数学；课程；应用意识；实践

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）06-0203-01

1 高中数学新教材中的应用问题

传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。

1.1 每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。

如在第三章 《数列》 以趣味话题："国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数是 "的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。

1.2 在研究"具体问题"时以实际例子引入课题 。

高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问題和具体情景。如用"不同重量信件的邮资问题"表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。

1.3 例题中的应用问题。

例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。

1.4 练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量。

为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有 45 题，占总数的 12.4% ；习题有 105 题，占总数的 18.15% ；复习题有 50 题，占总数的 14.91% 。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。

1.5 阅读材料。

问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 15 个，其中：

（ 1 ）历史故事方面的，如第二章《函数》的"对数和指数发展简史"，第五章《平面向量》中的"人们早期是怎么样测量地球的半径的？"

（ 2 ）介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗？

（ 3 ）扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的"向量的三种类型"等。

1.6 新增了"实习作业"和"研究性课题"。

为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。

2 高中数学应用题问题的教学实践

高中学生年龄一般在 15 - 17 周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从"经验型"向"理论型"急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的教学。

2.1 重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练。

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。

教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化，具体可按以下程序进行：

（ 1 ）审题；

（ 2 ）明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示；

（ 3 ）求建模，解数学问题，得出数学结论；

（ 4 ）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。

例：某城市现有人口总数 100 万人，如果年自然增长率为 1.2 %，写出该城市人口总数 y（ 人 ） 与年份 x（ 年 ） 的函数关系式 。

这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求：

——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释"年自然增长率"的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。

——细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样的关系？

——建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？

学生讨论后，从特殊的 1 年、 2 年……抽象归纳，寻找规律，探讨 x 年的城市总人口问题： y=100（1+1.2%） x 。

2.2 引导学生将应用问题进行归类。

为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥"定势思维"的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题； ②行程问题； ③合力的问题； ④排列组合问题； ⑤最值问题；⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想建立数学模型。

（ 1 ）章头序言，指导阅读，留下悬念 ；（ 2 ）重视例题的示范作用 ；（ 3 ）指导练习，巩固方法；（ 4 ）课外阅读，补充提高 ；（ 5 ）实习作业，重视实际操作与团结协作 ； （ 6 ）研究性课题，重视自主探究 。

3 对高中数学应用问题的教学建议

3.1 在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。

3.2 学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象 。数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学 。