矩形中的折叠问题

李春蓉　张杏华

矩形按不同的方式进行折叠，就会产生各种各样的几何问题。这些问题综合了三角形、四边形等多边形的诸多知识，而且往往会融入对称思想，解法灵活、趣味性强，有利于考查同学们的动手能力、空间想象力和几何变换思维，因此越来越受到中考命题者的青睐。

如图1，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知折痕[AE=55cm]，且[tan∠EFC=34]，

（1）△AFB与△FEC有什么关系？

（2）求矩形ABCD的周长。

分析与解

[已知条件＼&隐含条件＼&矩形ABCD＼&[∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°]，即图中有直角三角形；AB=DC、AD=BC＼&折叠＼&△AED≌△AEF，则AD=AF，DE=FE，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，

∠AEF=∠AED＼&由同角的余角相等得∠FAB=∠EFC（∠AFB的余角），∠AFB=∠FEC

（∠EFC的余角）＼&[tan∠EFC=34]＼&[ECFC=34]＼&[AE=55cm]＼&＼&]

对于第（1）问，很容易证得△AFB∽△FEC.

对于第（2）问，有以下几种设元方式：

情况一直接设元AD=x，方法行不通。情况二直接设元AB=x，由△AFB∽△FEC，可以得到[BFAB=ECFC=34]，可建立方程，但计算较复杂。其他几种情况都是间接设元，其中情况三不能求解，情况四、五、六、七可利用△AFB∽△FEC得到的边关系用勾股定理建立方程。其实只要是对与此比例式有关的线段进行设元，都可求解。但情况七的计算最为简便。

解决矩形中的折叠问题，关键是：

1. 抓住折叠本质。①折起部分与重合部分是全等的；②折起部分与重合部分是以折痕为对称轴的轴对称图形，且对称轴垂直平分对应点之间的连线。

2. 找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系。

3. 结合三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识，设出恰当的未知数，建立方程求解。

我们一起看看下面几组变式。

变式一：变条件。

如图2，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上的点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m>0. 求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

变式二： 变顶点位置。

如图3，在一面积为1的正方形纸片ABCD中，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则MP=_________。

变式三：变折痕位置。

已知：矩形纸片ABCD，AB=2，BC=3。

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。

探究：（1）如图4，若点B与D重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由。

（2）如图5，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。