单元测试（1）

本刊试题研究组

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：

则该人射击一次，至少命中9环的概率为 ．

2．某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是_____________．

3．化简：C22+C23+C24+…+C210=_____________（可用组合数表示）．

4．（1－x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是 （用数字作答）．

5．已知某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，8，9，10，11，这组数据的平均数为10，则其方差为_____________．

6．某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知2号，28号，41号同学在样本中，那么还有一个同学的学号是_____________．

7．阅读下面的伪代码：

S←0

i←1

While i<100

i←i＋1

S←S＋i

End while

Print S

上述伪代码的输出值为_____________．

8．箱中有号码分别为1，2，3，4，5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率为_____________．

9．已知AB是圆O的一条直径，在AB上任取一点H，过H作弦CD与AB垂直，则弦CD的长度大于半径的概率是_____________．

10．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是_____________．

11．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种．（用数字作答）

12．某城市的交通道路如图，从城市的东南角A到城市的西北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有_____________（用数字作答）．

13．设一辆汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，随机变量ξ表示第一次停车时已经通过的路口数，则P（ξ=3）=_____________．

14．已知C1006n=C1007n，（2x－3）n=a0+a1（x－1）+a2（x－1）2+…+an（x－1）n，x∈R，则a12+a222+a323+…+an2n的值为_____________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分

15．（本题满分14分）

从标号为A、B、C、D四个相同的小球中任取两个分别放到甲、乙两个盒子中，若每个小球被取到是等可能的，求：

（1）共有多少种放法？

（2）D球恰好放在甲盒中的概率是多少？

（3）A、B两球同时被放到两个盒中的概率是多少？

16． （本题满分14分）

在参加世界杯足球赛的三十二支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄分别为：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28．

①完成下面的频率布表；

②画出频率分布直方图；

③据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多，占总数的百分之几？

17．（本题满分15分）

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0．6，0．5，0．4，能通过面试的概率分别是0．5，0．6，0．75．

（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．

18．（本题满分15分）

现有5名男生、2名女生站成一排照相，

（1）两女生要在两端，有多少种不同的站法？

（2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

（3）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？

（4）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？

19．（本题满分16分）

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为［（1024x+20）x100+2］k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．

（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．

20．（本题满分16分）

规定Cmx＝xx-1…x-m+1m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，

这是组合数Cmn（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．

（1）求C5-15的值；

（2）组合数的两个性质：①Cmn＝Cn-mn；②Cmn＋Cm+1n＝Cmn+1是否都能推广到Cmx（x∈R），

m是正整数的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

（3）已知组合数Cmn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z．

参考答案

一、填空题：

1． 0．3； 2． 40； 3． C311（165） 4． 207； 5． 2； 6． 15； 7． 5049； 8． 25； 9． 32； 10． 23 11． 480； 12． 66； 13． 27256； 14． 1

二、解答题：

15．（1）共有12种．

（2）D球放到甲盒中包含3个基本事件，概率为3/12=1/4

（3）A、B两球放到盒中包含2个基本事件，概率为2/12=1/6

16．（1）

（3）在（24．5，26．5）内人数最多，占总数40％．

17．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；

E表示事件“恰有一人通过笔试”

则P（E）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）

=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4

=0.38

（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p=0.3，

所以ξ～B（3，0.3），故E（ξ）=np=3×0.3=0.9．

解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，

则P（A）=P（B）=P（C）=0.3

所以P（ξ=1）=3×（1－0.3）2×0.3=0.441，

P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189，P（ξ=3）=0.33=0.027．

于是，E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

18．解：（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排，

A22·A55=240（种）；

（2）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；

A55·A26=3600（种）；

（3）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；

A57=2520（种）；

（4）采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的A66个，再去掉女生乙在右端的A66个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的A55种排除了两次，要找回来一次．

A77－2A66+A55=3720（种）．

19．（1）设摩天轮上总共有n个座位，则x=kn，即n=kx，

y=8kkx+kx［（1024x+20）x100+2］k=k2（10x+1024x+20100），

定义域{x|0

（2）当k=100时，令y=100（1000x+1024x+20），

f（x）=1000x+1024x，

则f′（x）=－1000x2+5121x ∴x32=12564x=（12564）23=2516，当x∈（0，2516）时，f′（x）<0，即f（x）在x∈（0，2516）上单调减，

当x∈（2516，50）时，f′（x）>0，即f（x）在x∈（2516，50）上单调增，

ymin在x=2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．

20．解：（1）C5-15＝-15-6…-195！＝－C519＝－11628．

（2）性质①不能推广，例如当x=2时，C12有意义，但C2-12无意义：性质②能推广，它的推广形式是Cmx+Cm-1x=Cmx+1，

有C1x＋C0x＝x＋1＝C1x＋1；当m≥2时，

Cmx＋Cm－1x＝xx-1…x-m+1m！＋xx-1…x-m+2m-1！

＝xx-1…x-m+2m-1！（x-m+1m+1）

＝xx-1…x-m+2x+1m！

＝Cmx+1．

（3）当x≥m时，组合数Cmx∈Z；当0≤x＜m时，Cmx＝0∈Z；

当x＜0时，－x＋m－1＞0，所以

Cmx＝xx-1…x-m+1m！

＝-1m-x+m-1…-x-1-xm！

＝（－1）mCm-x+m-1∈Z．

综上所述，当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z．