三个视角探寻“几何动态问题”的真相

王晓红 王锋

所谓“动态几何”问题，就是指在几何图形中，当某一个元素（如点、线或图形等）运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题.它的主要特征是以几何图形为载体，设计一个或几个动点（或线、或面）按某种特定的方式运动变化，在这个运动的过程中伴随着的等量关系、数量关系的变化、特殊位置状态的图形出现.解决此类问题，首先必须弄清运动对象（点、线、面）运动的方式、运动的范围、运动的时间、方向和速度；其次要掌握在运动过程中哪些量是变化的，哪些量是不变的.学会辩证的看待“运动”与“静止”的相互关系，利用运动过程中某一瞬间静止的位置，动中窥静，以静制动，抓住图形的特殊位置，明晰图形之间的内在联系，通过观察、分析、归纳、推理，从中探求问题的本质、规律和方法.当探究有关图形中变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解.

一、定量探究单双动点问题

这类问题是一个或两个动点按照一定的速度沿着给定的路径运动，形成新的图形.让同学们探究构成的特殊图形的形状、线段垂直关系及图形的面积与时间之间的关系，解答该类问题通常构造方程模型求解.

例1如下图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t<3），连接EF，△BEF是直角三角形时，t的值为（ ）

A. 1或3 B. 或

C. 或1 D. 或或1

解析：以点B、E、F为顶点的三角形是直角三角形，观察图形结合已知条件只可能是∠BEF=90°或∠BFE=90°.故应分类求解.由直径所对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°，AB=2BC=4cm.

① 当∠BFE=90°时，连接OF，因为F是弦BC的中点，根据垂径定理则有∠OFB=90°，说明当点E运动到点O时满足要求.由于点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，所以E点运动的距离为：2cm或6cm，此时t=1s或3s.由于0≤t<3，故t=3s不合题意，舍去.所以当∠BFE=90°时，t=1s；

② 当∠BEF=90°时，过点F作FE⊥AB，垂足为E，则点E满足要求.在Rt△BEF中，BE=BF·cos60°=0.5，AE=AB-BE=3.5，所以点E运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s.综上所述，当t的值为1s、1.75s或2.25s时，△BEF是直角三角形.故选D.

反思：本题考查直径所对的圆周角是直角、30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂径定理、直角三角形的性质等知识点.渗透了分类讨论、转化求解的思想方法.本题的思维陷阱有两个方面：一是易忽视∠BEF是直角的情形造成漏解；二是没有注意到点E是往返运动，即使注意到了却忽视了运动时间有限制，造成多解（t=3s没有舍掉）.

二、运动的直线问题

动线问题是指直线按指定的路径进行平移、旋转，形成新的图形.在解答问题时要注意审题，找出直线运动过程形成不同图形时的临界位置进行分类探究，不要漏解，也不要多解.利用提供的等量关系将变量关系转化为方程求解.

例2 如下图，在等腰梯形ABCD中AB∥CD、AB=3、DC=、高CE=2，对角线AC、BD交于H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G.当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为S1，被直线RQ扫过的面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.

（1）填空：∠AHB=____________，AC=_____________；

（2） 若S2=3S1，求x.

解析：（1） 如右图所示，过点C作CP//BD交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形PC=BD，BP=DC=.根据等腰梯形的对角线相等，有AC=PC，并且CE⊥AB，所以AE=BP=AP =2，又CE=2，所以AE=EC.所以∠ACE=∠PCE=45°，所以∠AHB=∠ACP=90°.AC=APsin45°=4×=4.

⑵观察上图，我们可以发现当直线RQ移动时间最大时到达点C，此时x=秒，说明自变量的取值范围为0≤x≤2，而直线MN最大平移距离是AC=2，即到达线段AC的中点位置.当直线RQ运动到线段BD位置之前，即0≤x≤时，两条直线扫过的图形都是三角形，而当直线RQ运动超过线段BD位置之后，即≤x≤2时，直线MN扫过的图形仍是三角形，直线RQ扫过的图形则是五边形，所以需要分两种情况讨论：

①当0

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ARQ，根据相似三角形面积的比等于对应高的平方比，

∴=（）2=4. ∴S2≠3S1.

②当≤x≤2时，先用含有x的代数式分别表示S1，S2，然后由S2=3S1列出方程，解之可得x的值.

如图左所示，因为CG=4-2x，CH=1，BD=AC=4所以S△BCD =×4×1=2，由于△CQR∽CBD，根据相似三角形面积的比等于对应高的平方比得 S△CRQ =2×（） 2=8（2-x）2

∴S2=S梯形ABCD-S△CRQ= 8-8（2-X）2 ，同理 =（）2，即 =（） 2

∴S1=x2由S2=3S1，得方程8-8（2-x）2=3× x2， 解得x1=（舍去），x2=2.

∴x=2.

注：本题重点考查等腰梯形， 相似三角形的性质，二次函数的增减性和配方法求最值；分类讨论，由特殊到一般的数学思想等. （1）问是通过平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，利用“三线合一”性质和勾股定理（或锐角三角函数）获得问题答案的.通过添辅助线将梯形问题化归为特殊的三角形、特殊的平行四边形是解决梯形问题有效方法.

三、图形的运动问题

用图形的变换设计一个图形变化的数学环境，来探究新图形的性质，或其中某些量之间的函数关系（多数是面积问题）.解决此类问题的关键是掌握变换的本质特征，运用其不变量探究变化的图形中一些量之间的特定关系.

例3 如左图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如右图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a ，CQ=a时，P、Q两点间的距离 （用含的代数式表示）.

分析：（1）依题意△ABC与△DEF是等腰直角三角形，所以∠B=∠DEF=∠C=45°，根据相似模型可知△BPE∽△CEQ，又AP=AQ，所以BP=CQ， 所以△BPE≌△CEQ（AAS）.

（2）因为△DEF绕点E旋转的过程中，∠B=∠DEF=∠C=45°保持不变，则∠BEP+∠BPE=135°，∠BEP+∠CEQ=135°仍成立，所以∠CEQ=∠BPE仍成立，所以△BPE∽△CEQ.所以=，又BE=CE，即BE2=a2，所以BE=CE=a，所以BC=3a，在等腰直角△ABC中，所以AC=3a，所以AQ=CQ-AC=a，又AP=AB-BP=3a-a=2a，在Rt△PAQ中，由勾股定理得PQ==a.

评注：抓住图形旋转过程中，其中的不变量（∠B=∠DEF=∠C=45°）或不变关系（△BPE与△CEQ之间的相似关系）是解决此类问题的关键.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）