分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

王开华

考点：用计数原理解决“分给问题”

【例】有四位学生参加三项不同的竞赛：

（1）每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？

【自主解答】

（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对学生并无条件的限制，所以每位学生均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步，而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得3×3×3×3=34=81种不同结果。

（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位学生中的一位，要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此分三步，用分步乘法计数原理可得4×4×4=43=64种不同结果。

【摇身一变】

保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则共有多少种不同结果？

解：第一个项目可挑选4个学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩下的3个学生中选一位，有三种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有两种不同的选法，故共有4×3×2=24种不同结果。

【规律总结】

解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识。

【变式之作】

（1）8本不同的书，任选其中3本分给3个学生，每人一本，有多少种不同的分法？

（2）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

（3）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

解：（1）分三步，每位学生取书一本，第1、2、3个学生分别有8、7、6种取法，因而由分布乘法计数原理，共有N=8×7×6=336（种）。

（2）完成这件事可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步投第四封信，仍然有3种投法。由分布乘法计数原理，可得出不同的投法共有N=3×3×3×3=81（种）。

（3）分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而不同的方法共有N=4×4×4=64（种）。

（作者单位 甘肃省古浪县定宁初级中学）