引领学生走进数学反思的殿堂

唐杰

反思是指自觉地对数学认知活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的主要形式。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出“反思是数学思维活动的核心和动力”。反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质。反思可以帮助学生从例行公事的行为中解放出来，摆脱题海战术，帮助他们学会数学学习；可以使学生的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为；可以使学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力；可以有利于学生在学习活动中获得个人体验，使他们变得更加成熟，促进他们的全面发展。

一、高中数学学习中需要反思的内容

反思一：“新旧之交”。学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”。这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断优化和重新组合，使学生获得新知识。反思二：“万众之要”。“万众之要”就是要会从众多的知识与如海题目中寻找规律，把握规律，并达到以不变应万变、以一总万的目的。反思是自觉追寻、归纳、总结并进行灵活运用的有效手段和必经过程。反思就要关注解题过程中的知识联系及行之有效的解题思路，将课本学薄，将所有知识变成结晶。反思三：“反三之机”。“举一反三”是一种高层次的学习境界，是灵活变通的思维表征。“反三”既是对旧知的进一步深化，又是对新问题的深邃理解，“反三”是训练数学思维敏捷性与能动性的最好途径。反思四：“反思之反思”。学生的情感、态度、价值观念会直接影响到学习的效果，学生的志向、意志、习惯也决定了学习动机以及学习行为，因此延续学生的学习兴趣，坚定学生的学习动机，培养学生的学习耐力尤为重要。让学生关注点滴的进步，欣赏局部的成功，将己导入快乐学习的碧海蓝天。反思是一架促使学生对成功与失败的经验教训总结分析的推进机。

二、引导学生反思、培养学生反思能力的有效做法

1. 利用“还课”的方式引导学生对听课进行反思

课堂是学生获取知识的主要场所，但许多数学知识仅凭课堂专心听讲是难以真正做到理解和掌握的，还必须经过反思这一环节得以消化、吸收。课堂笔记则是反思性学习的基础，学生课后通过阅读笔记，再沿着教师讲解的内容、思路或方法对其反思，认真消化，把教师解决问题的思想方法及对问题的认识转化为自己的学习过程，并在反思课堂内容的基础上进行再创造，用“还课”的方式讲给老师、同学、家长或自己听。

笔者认为学生在知识学习中，能够听懂别人的讲述是一个层次，属浅层次；能够用一定的方式方法讲出来使别人听得懂，属一个较高的层次；能够用多种方式讲解以使别人听懂，则属最高的层次。因此，在教学中要求学生以讲课的形式，将上一节课或前面学过的数学知识，讲解给同学或老师听，并力求用各种方法讲解以求达到使他们听懂的目的，即为“还课”。“还课”可以让学生深入透彻地理解数学概念、命题的内涵，了解数学知识之间的关系以及数学知识所蕴涵的数学思想方法，获取有效的数学知识和解决问题策略，进而形成良好的数学认知结构，进一步促进数学学习。同时“还课”不仅要求学生向老师、同伴讲解，而且还要求学生接受老师与同伴的质疑，这些都督促着师生之间、生生之间交流与合作的发生与交流。因此“还课”融合了多种学习方式于一体，可以促进学生学习方式的转变与优化，提高数学学习的主动性、自主性。

2. 利用波利亚的“怎样解题表”对解题进行反思

波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构。

3. 利用“数学周记”的形式在单元小结中进行反思

学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施，是全方位、多角度、多层次的反思。课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己想到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受，都可以通过数学周记的形式记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。引导学生对一单元的知识、方法进行反思性总结，让学生自行编制知识网络，使知识更加系统化，而且对单元中隐含的思维特征予以反思，理清思路。反思自己对这一单元中知识的认识是否达到所要求的程度，自己对这些知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺之处，这种欠缺是如何造成的，如果需要补救必须及时进行。

4. 利用“错题集”的形式对测试进行反思

每次考试后，教师与学生都有一大堆遗憾，许多题目讲过了、考过了，有的还不只考过一遍，最终还是错了，拿不到分数。这主要是因为我们知识结构的残缺和认识上的盲点造成的。要克服这一弊病，最佳的方法就是建立一本错题集。所谓“错题集”就是要求学生准备一本较厚的笔记本，把平时作业及考试中做错的典型性错误找出来，把错误的习题从讲义或试卷上“剪切”下来，“粘贴”并整理编辑在笔记本上。它既是学生积累学习经验和学习资料的宝库，又是教师改进教学、探索规律、研究学生的重要依据，更是提高考试质量的有效措施。

目前数学教学中最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动的最重要的环节。美籍数学教育家波利亚曾说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”。由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次的反复思考、深入研究、自我调整，即坚持数学反思，才能减少操作性数学学习，才能洞察数学活动的本质特征。