数量关系教学实效性的辩证思考

丁杨华

【问题呈现】

苏教版五年级上册《小数乘法和除法（二）》单元的练习中有这样一道题：

[如果插秧机一天插秧7.5小时，人工一天插秧6小时，你能算出插秧机和人工每小时各插秧多少公顷吗？插秧机每小时插秧的公顷数是人工的几倍？

][人工插秧每人每天只能插秧0.042公顷][这台插秧机每天插秧1.47公顷]

原以为这种非典型的实际问题，只是考量学生对小数除法笔算技能的掌握情况，学生独立完成是没有问题的。然而当堂练习中，全班46人，竟有25人出现错误。学生的错误主要有：①0.042÷7.5=0.056（公顷），1.47÷6=0.245（公顷），0.245÷0.056=4.375，犯这种错误的有4人；② 6÷0.042，7.5÷1.47，没能算出结果，犯这种错误的有16人；③7.5÷0.042， 6÷1.47，没能算出结果，犯这种错误的有5人。

【观点碰撞】

教研组集体备课时，笔者与同组其他九位教师交流，发现大家所任教的班级上都出现了类似的错误。分析原因：一致认为上面的第一种错误是审题不清，因为题中左边图文和右边文字阐述的顺序不一致，把插秧机和人工插秧的数量混淆了；第二种错误是数量关系的理解错误；第三种错误既是审题不清，更是数量关系理解错误。对于主要问题数量关系的理解错误究其原因，大家出现了两种观点，简述如下。

观点一：课标教材为了避免学生生搬硬套，套用关系式，删除了“常见的数量关系”单元的教学，改成教材提供大量生动形象的生活情境，提供丰富的感性材料，让学生在实际问题的解决中领悟基本的数量关系，而不要求学生讲有关数量关系的术语或关系式。这对于优秀的学生而言是可行的，但对于中等偏下的学生，还是要在实际运用中帮助学生抽象概括出基本的数量关系，帮助学生建模，学生有了一定的模型，就不易出错了。

观点二：常见的数量关系是学生在平时生活中常见的，与生活紧密联系的，对常见数量关系的学习理解，应该从学生生活经验入手，不能孤立地仅从文字上进行理解。学生之所以会用6÷0.042，是因为在学生印象和经验中，“每人每天只能插秧0.042公顷”这个已知条件中出现了“每人每天”应该是作为除数的。为此，教师需要引导学生借助生活经验，在具体情境中理解数量关系，让学生形成对数量关系的结构认识和整体把握，逐步学会借助数量关系来解决实际问题。

【后续调查】

为了了解真实的学情，笔者尝试将原题中的数据换成了整数，并把文字叙述的顺序调整一致：人工插秧每人每天只能插秧480平方米，插秧机每天插秧16000平方米。如果人工一天插秧6小时，插秧机一天插秧8小时，你能算出人工和插秧机每小时各插秧多少平方米吗？插秧机每小时插秧的平方米数是人工的多少倍？

测试时，笔者从四年级和五年级各随机选了一个班，学生独立分析，列式解答。测试结果如下：四（8）班，总人数46人，正确人数39人，正确率84.78%；五（8）班，总人数45人，正确人数41人，正确率91.11%。四、五年级所有学生的错误都是计算错误，数字抄写错误，无一列式错误。

于是，笔者随机对五（8）班的一些学生进行了访谈。

笔者：480÷6求的是什么呀？

生1：人工每小时插秧多少平方米。

笔者：为什么不用6÷480呀？

生2：怎么可以呀？也没有意义啊？

生3：也不好算啊？

生4：好算的，我们已经学过了小数除法啊！

笔者：6÷480没有意义吗？

短暂的沉默。

生5：有的。应该表示插秧1平方米需要多少小时。

少数学生点头赞同，大部分学生面带疑惑。

……

【思考感悟】

不难看出，改编后的习题学生能解答正确，是因为他们凭已有的解题经验做出的解答，而非对数量关系的真正理解。原来习题的错误，其根源是学生没有真正理清其中的数量关系。小数除法中，被除数和除数谁大谁小没有确定性，学生已经具有的解题经验面临挑战，在数量关系理不清的前提下，就只能凭感觉瞎做了。

2011年新修订的《义务教育数学课程标准》在数感、模型思想等方面多次谈及了数量关系，其中在数感的论述中指出：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”可见新课程并没有舍弃数量关系的教学。为此，笔者也对数量关系教学的实效性进行了一些辩证性思考。

1.把握教材体系，适时渗透数量关系

苏教版课程标准教材编写删去了“应用题”教学单元，淡化了类型，倡导计算与运用不分家，将“数与运算”融入具体的生活情境中，在解决问题的过程中，理解运算意义，把握最基本的数量关系。比如，在低年级的数学教学中，学生逐一理解加、减、乘、除运算的意义和算法较容易，思维没有障碍。当出现相应的实际问题需要解决时，学生在具体单元中也没有问题。但作为教师不能仅此而已，而是要适时引导学生去感受、去提炼一些简单的数量关系，明白“部分量+部分量=总量”、“每份数×份数=总数”、“大数-小数=相差数”、“大数÷小数=倍数”等基本的数量关系，为后续学习较复杂的实际问题做好铺垫。其实，这里教师要做的并不复杂，在学生解完一道题，经历了从具体情境抽象出运算意义的基础上，让学生说一说蕴含的数量关系，初步感受数量关系的有用。教师的这种有意渗透，对学生数量关系的建立，解决问题意识的培养是一种很好的积累。当整数问题拓展到后续的小数、分数问题时，学生就不会再出现类似上述的错误。

当然，对数量关系的渗透及四则运算意义的理解，不能仅停留在独立的单元教学内，还应放在各个单元及知识点的教学之中。这就需要教师能整体把握课标教材散点编排的特征，学会科学地串珠成链，适时巧妙地渗透数量关系，方能提高学生利用数量关系解决问题的能力。

2.借助问题情境，理解数量关系形成

实践研究表明，在富有现实意义的情境下，学生解决问题才会把问题与类型相对应，将情境中的问题与运算意义相联系。因此，教师必须将数量关系的形成过程与运用过程有机结合起来，让学生经历从现实情境到抽象数量关系解决实际问题的全过程。

比如，四年级下册《解决问题的策略》单元，新课伊始出示这样一个问题情境：王超和李明同时从两地沿一条公路相对走来。王超每分钟走68米，李明每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？学生在经过真人模拟演示、画线段图或列表的基础上，尝试着用自己的语言表述数量关系：两地相距的米数应该用王超6分钟所走的米数加上李明6分钟所走的米数，所以应该先算每人6分钟所走的米数。在教师的进一步启发下，学生转换思考角度，发现还可以先求出两人1分钟共走的米数，再算两地相距的总米数。由此，引导概括出了新的数量关系“速度和×相遇时间=总路程”。两种数量关系从不同角度反映出数量之间的本质联系。这种让学生在具体的问题情境中，经历多种角度思考问题，理解数量关系的形成，能达到发展思维，提高学生解决实际问题的灵活性与敏捷性的目的。

3.放手探索体验，构建数量关系模型

数量关系是生活原型升华为数学意义的路径，是小学阶段最为重要的数学模型之一。课标教材倡导让学生自主经历，从实际问题中探索隐含的数量关系模型，然后借以解决问题，体现数学化的过程，感受数学学习的价值。

比如，二年级下册《乘法》单元有一道习题：一个机器人32元，一辆玩具汽车21元，一个布娃娃13元，一只玩具狗23元（图片出示）。（1）买3个机器人要多少元？（2）买2只玩具狗要多少元？（3）老师带了80元钱，够买4辆玩具汽车吗？以上问题，教师大胆放手让学生逐一解答。通过比较，学生找到三个算式的共性，并归纳得出“每个物品的价格×购买的数量=总钱数”。教师指出每个物品的价格可称为单价，总钱数称为总价，从而构建出“单价×数量=总价”的模型。然后让学生联系生活实际，编一编具有这样数量关系的实际问题。在学生的编题与解答中，学生很快又探索得出了“总价÷数量=单价，总价÷单价=数量”。学生体验到三个量中只要知道了其中两个量，就能求出第三个量。

当然，构建模型是为了更好地理解分析数量关系，不能死记硬套，要变教师的灌输为学生自主探索、体验，要把人为模式化的训练变为有机的渗透。

4.注重变式对比，感悟数量关系转化

传统数量关系的教学留给学生的往往是“认识类型——识别类型——套用方法”，忽略了对数量关系本质的分析，较多地关注于问题表述中字词的特征，造成学生对题意的理解停留在表面，形成解题错误。为此教师要注重各种数量关系的变式对比，让学生感悟数量关系之间的转化。

比如，五年级上册《多边形面积的计算》单元，练习时设计了两个题目：（1）一个等腰三角形广告牌，底15米，高8米。油这块广告牌每平方米需要油漆1.5千克，一共需要油漆多少千克？（2）一个等腰三角形广告牌，底15米，高8米。油这块广告牌1千克油漆可以漆1.5平方米，一共需要油漆多少千克？实践证明，练习中如果只单独出现第（2）题，很多学生对数量关系分析不清都做成了第（1）题的答案。然而以题组的形式出现两题，学生在对比中自然会感悟到“每平方米需要的油漆数×总的平方米数=一共需要油漆数”、“总的平方米数÷每千克油漆漆的平方米数=一共需要油漆数”，水到渠成地实现了数量关系的过渡与转化，学会了利用数量关系举一反三，而不是仅仅凭直觉，或知其然，而不知其所以然。

综上所述，提高数量关系教学的实效性，不是为了统一数量关系外显的表达形式，也不仅仅是为了解决实际问题，而是发展学生内在的数学思维。作为一线教师，我们更应将新课程的理念转化为实际教学，将教材的变化展现在自己创造性的教学中，让学生在丰富的教学活动中理解、感悟、运用数量关系。