基于主成分分析法的企业经济效益评价模型

汪金晶 吴敏靓

摘要：本文将主成分分析方法应用于社会科学领域的经济评价系统，此方法将错综复杂的经济效益指标归结为几个主成分并建立评价模型，使得复杂问题得以简化，同时更科学、精确的反映出企业经济效益评价。

关键词：主成分分析 经济效益评价

一、引言

对企业经济效益进行的有效评价，为各级政府对企业实施间接管理、加强红宏观调控、制定经济政策和考核企业经营者业绩提供参考依据；也有利于企业内部建立健全激励机制和约束机制，正确引导企业经营行为，提高企业经营管理水平和综合竞争能力。

在经济问题的研究中，我们常常会遇到影响此问题的很多变量，这些变量多且又有一定的相关性，而相关性的大小差别又很大，因此我们希望从中综合出一些主要的指标，这些指标所包含的信息量又要尽可能全面。这些特点，就使我们在研究复杂的问题时，必须抓住主要矛盾。

二、主成分分析法简介

主成分分析（Principal Component Analysis）也称为矩阵数据分析法，是数学上对多变量降维处理的一種方法，将原来众多具有一定相关性的指标重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。

利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。[1]

主成分分析的基础思想是将数据原来的P个指标Y1，Y2LYP作线性组合，得出新的综合指标（X1，X2LXP）。其中X1是“信息最多”的指标，即原指标所有线性组合中使var（X1）最大的组合对应的指标，称为第一主成分； X2为除 X1外信息最多的指标，即COV（X1 X2）=0且 var（X2）最大，称为第二主成分；依次类推。易知 X1，X2LXP互不相关且方差递减。实际处理中一般只选取前几个最大的主成分（总贡献率达到85%），达到了降维的目的。

三、企业经济效益评价模型的建立

设有个待评价企业，个经济指标，得到的原始资料矩阵

（1）对样本数据的标准化

在实际应用中，往往存在指标的量纲不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，而将原始数据标准化。对数据矩阵Y作标准化处理，即对每一个指标分量作标准化变换，变换公式为：

其中：样本均值，

样本标准差，

得标准化后的数据矩阵

（2）计算相关系数矩阵

对于给定的n个样本，求样本间的相关系数。相关矩阵中的每一个元素由相应的相关系数所表示。

其中

（3）求特征值和特征向量

根据协方差矩阵求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。解特征方程|λE-R|=0，求出特征值λi（i=1，2，LP）。因为R是正定矩阵，所以其特征值λi都为正数，将其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥L≥λi。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的影响力。

主成分Yi 的贡献率

计贡献率为

根据选取主成分个数的原则：特征值要求大于1且累计贡献率达80%-95%的特征值λ1， λ2，Lλm所对应的1，2，…，m（m≤P），其中整数m即为主成分的个数。

设相应λi的特征向量。

（4）求主成分 （取线性组合）

根据求得的m个特征向量求主要成分通式模型为：

Fj是第j主成份，求各主成份的关键是求特征根（λi）及其相应的特征向量（Ai ）。主成分分析以较少的m个指标代替了原来的p个指标对系统进行分析，这给我们对系统的综合评价带来了很大的方便。

（5）计算企业经济效益综合评分函数Gi

在得出主成分全中后，评价企业经济效益的综合值的模型为：

函数值由小到大的排列，越排考前，经济效益越好，进而可以待评价企业的经济效益进行全面、科学、精确的评估。

参考文献：

[1]朱星宇，陈勇强.SPSS多元统计分析方法及应用[M].北京：清华大学出版社，2011：241.

[2]彭介寿，赵金先.主成分分析法与企业综合经济效益评价[J].企业经济，2003（6）：115-116.

[3]陆庆春，田华.矩阵分析法在企业业绩评价中的应用[J].水利经济，2007（1）：37-39.

[4]刘树梅.综合评价活动的发展、问题、建议[J].统计研究，2002（12）：50-53.