两期投资组合优化统一模型

银建华

摘要：给出了赋值一组参数后的投资组合优化统一模型与均值—绝对离差模型有相同投资组合分配向量的证明。利用情景分析的方法，建立了两期投资组合优化统一模型。

关键词：有效投资组合 情景分析 统一模型

一、引言

投资组合理论是关于如何寻找资产的有效投资组合的理论。目前有很多产生有效投资组合的方法。在收益分布对称的情况下，用方差来表示风险的Markowitz的均值-方差法（Mean–Variance）MV。经Konno和Yamazaki修改MV方法后得到均值-绝对离差方法（Mean-Absolute Deviation）MAD。在收益分布不对称的情况下，一个是Markowitz 的均值-半方差法（Mean-Semivariance）MSV， 另一个是Harlow 的使用下滑风险刻画风险的均值-下滑风险方法（Mean-Downside Risk）MDR。分别修改MSV和MDR方法，Duarte和Maia 得到均值-绝对半离差方法（Mean-Absolute Semideviation）MASV和均值-绝对下滑风险方法（Mean-Absolute Downside Risk）MADR。

1999年，Duarte提出了投资组合优化统一模型统一了上面提出的六种模型。通过给模型三个参数赋值0或1就能得到具体六种模型之一。Duarte的投资组合优化统一模型只考虑了单期的投资组合问题。然而，投资行为，特别是机构投资者的投资行为往往是长期的。对于一个长期投资者来说，他将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸，而不是将初期构建的投资组合一成不变地保持到投资计划期末。这时就要考虑多期投资组合。本文推广了Duarte的单期投资组合优化统一模型，建立了两期投资组合优化统一模型。

二、单期投资组合优化统一模型

投资组合优化统一模型是基于情景分析（Scenario Analysis）构建的。情景分析可以看作是一个多叉树模型，是随机过程的一个可能实现的离散形式。基于情景分析的模型是根据每个情景的组合收益来计算最优投资分配的。先计算出每个情景的组合收益，然后由这些各个情景的投资组合收益表示出投资组合的期望收益和投资组合的风险，最后建立使期望收益最大、组合风险最小的投资组合优化模型。

Duarte的统一模型只考虑了一期的情况。它假设n支证券有m个情景，每个情景是等概率的，第j支证券在情景i的回报为Rij，n支证券在m个情景的所有回报可用一个矩阵R来表示。

Duarte的单期投资组合优化统一模型如下：

（1）

其中，m是情景数，n是证券数，是与风险厌恶有关的参数，，，是选择方法的参数，X是投资组合分配向量，是可用投资财富，R是矩阵，Rij是证券j在情景i的回报，r是向量，是在情景i的最优投资组合的回报，v是在MDR和MADR方法中最小的可接受回报，p是一个用来控制在有效前沿里期望回报水平的参数，u，d，w是非负的辅助向量。

当我们对模型（1）的参数，，分别取0或1时，我们就可以分别得到六种模型，具体见表1。

表1 参数选择与投资组合优化方法的对应表

例如，在模型（1）中令；时，其解与均值-半方差模型的解相同，其证明在1993年由Markowitz 给出。

再如，在模型（1）中令；时，其解与均值-方差模型的解相同，其证明在1999年由Duarte 给出。

若在模型（1）中令；，则得到优化模型：

（2）

下面给出其与均值-绝对离差模型有相同投资组合分配向量的证明。

均值-绝对离差模型如下：

定理：模型（2）解中的x与均值-绝对离差模型的解x相同。

证明：首先证明若x*是均值-绝对离差模型的最优解，

令，。

，。

，，，则是模型（2）的最优解。

易证是模型（2）的可行解。

对模型（2）的任意可行解，x也是均值-绝对离差模型的可行解，由于x*是均值-绝对离差模型的最优解，则

（3）

令，。

，。

则是模型（2）的可行解，且

这样

（4）

由（3）（4）得：

这就证明了是模型（2）的最优解。

下面证明若是模型（2）的最优解，则x*是均值-绝对离差模型的最优解。显然x*是均值-绝对离差模型的可行解。对均值-绝对离差模型的任意可行解x，令

，。

，。

则也是模型（2）的可行解。

由于是模型（2）的最优解，则

则也是模型（2）的可行解。并可类似于前部分证明可证得

这样

但是模型（2）的最优解，于是

（7）

由（6）（7）得

（8）

那么

这就证明了x*是均值-绝对离差模型的最优解。证毕。

三、两期投资组合优化统一模型

下面考虑两期投资组合优化问题。

假设有n支证券，第一期m个情景，然后由第一期每个情景延续到第二期的m个情景，这样第二期共有m2个情景，如图1。假设每个情景都是等概率的。

假设第一期各证券在每个情景的回报构成第一期回报矩阵 R1，它是一个m×n矩阵。R1（i，j）表示矩阵的第i行第j列的元素，代

图1 情景多叉树

表证券j在情景i的回报。x1表示第一期的投资组合分配向量，r1表示第一期的组合回报向量。它们有关系式：R1x1 = r1。

假设由第一期的第i个情景延续到第二期的回报矩阵为R2i，它也是m×n矩阵。R2i（k，j）表示矩阵的第k行第j列的元素，代表第一期的第i个情景延续到第二期的第k个情景的第j支证券的回报。x2i表示相应于第一期的第i个情景在第二期的投资组合分配向量，r2i表示相应于第一期的第i个情景在第二期的投资组合回报向量。它们有关系式：

第二期的投资组合回报向量。第二期的投资组合分配向量。

假设投资是自融资的。即除在第一期初投资后没有新的资金注入，也没有资金撤出。假设资产市场无任何交易成本、税收，资产数量无限可分。于是在第一期末和第二期初的每个情景的资产等值，即，，其中，为r1的第i个元素。

记

那么

用r2表示出投资组合的期望收益和投资组合的风险，建立使期望收益最大、组合风险最小的投资组合优化模型。这样就得到了两期投资组合优化统一模型：

其中，m是第一期的情景数，m2是第二期的情景数，第一期的每个情景到第二期有m个情景。x1是第一期的投资组合分配向量，x2是第二期的投资组合分配向量，R1是第一期的回报矩阵，R2是第二期的回报矩阵。r2是第二期投资组合的回报向量。

当引入一个松驰变量和一些记号，模型（10）能被写成：

（11）

其中M是半正定矩阵，因此模型（11）是凸二次规划。M， A都是稀疏矩阵。模型（11）具有个决策变量，个等式约束。

参考文献：

[1]H M MARKOWITZ.Portfolio Selection： Efficient diversification of Investments[M].New York：John Wiley， 1959

[2]H KONNO，H YAMAZAKI.Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to tokyo stock market[J].Management Science， 1991， 37（5）： 519-531

[3]W V HARLOW.Asset allocation in a downside risk framework[J].Financial Analysts Journal，1991，47（5）：28-40

[4]Jr A M DUARTE， M L A MAIA. Optimal portfolios with derivatives[J]. Derivatives Quarterly， 1997， 4（2）： 53-62

[5]Jr A M DUARTE. Fast computation of efficient portfolios[J]. Journal of Risk， 1999， 1（4）： 71-94

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