集合综合性问题探究

吴志峰

2013年高考刚刚结束，但是高考带给我们的思考和启发却刚刚开始.在高中数学中，集合是高中数学体系的基础，是学习数学最基本的概念之一.这几年的高考对集合的考查主要有两种形式：一是直接考查集合的概念及运算，以基础题为主，多在选择题的前几题，如今年广东文理科的第一道选择题.二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的综合运用，常与函数、方程、不等式等知识相联系，考查数学思想方法和能力，综合应用意识较强，小题综合化是一种主要形式，而这一类问题往往作为选择题或者填空的压轴题，令很多考生望而生畏，其实只要能够认真理解题意，掌握解决问题的方法和规律，这一类问题是可以攻克的.让我们先来看看今年广东高考理科卷的第8题和第13题.

例1.（2013年高考广东理8）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x

若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

【解析】答案B.

解法一（直接法）：因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以x

解法二（特殊值法）：

由于集合S中的元素要满足的条件是：x，y，z∈X且三条件x

点评：本题设计比较有新意，巧妙地借用集合的语言，结合不等式描述三个数的大小关系，主要考查对集合的含义，不等式等相关知识点，考查分类讨论的数学思想方法.对集合中元素的理解成为解题的关键，本题中集合元素是（x，y，z），对这三个数要求“x，y，z∈X且三个条件x

例2.（2013年高考广东理13）给定区域D：x+4y≥4，x+y≤4，x≥0，令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定______条不同的直线.

【解析】答案6.

画出可行域如图所示，其中z=x+y取得最小值时的整点为（0，1），取得最大值时（x，y）落在直线x+y=4上，故取最大值时整点为（0，4）、（1，3）、（2，2）、（3，1）及（4，0）共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.

点评：这是一个综合性较高的填空题，将集合的知识融入到线性规划中，再结合平面几何的内容考察计数原理等知识点，考察数形结合的思想方法.对集合T中元素的理解也是解题的关键步骤.本题中是集合T中的元素是点（x0，y0），其本质线性目标函数z=x+y在区域D内的最优解.要求考生熟练掌握线性规划的求解方法的相关概念.最后以T中的点共确定几条不同的直线，考察平面几何和计数原理相关知识，由于点数不多，可以直接画图找到答案.

变式1. （2013年高考湖南理16节选）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为____.

【解析】答案：{x|0

分析题目，对集合M中元素的理解也是解题的关键部分之一，我们会想到“a，b，c能够成三角形”等价于“a+b>c且a+c>b且b+c>a”；那么条件“a，b，c不能够成三角形”等价于“a+b≤c或a+c≤b或b+c≤a”，因此由集合M中元素的条件可知a+b≤c即2a≤c即 ≥2.函数f（x）=2ax-cx，令f（x）=0得x=log 2= ≤1，所以f（x）的零点的取值集合为{x|0

点评：本题主要考查集合，函数零点及不等式等知识点，利用集合M巧妙构造a，b，c三者之间的大小关系，抓住元素特点理解集合M的含义，从而得到结果2a≤c是解决这一个问题的关键突破口.

变式2.（2013年高考重庆理22节选）对正整数n，记In={1，2，3，…，n}，Pn={ |m∈In，k∈In}.（1）求集合P7中元素的个数.

【解析】答案：46.

由于集合中元素 的条件是m∈In，k∈In，根据分步计数原理可得共有7×7=49个数，但是由于集合中元素的互异性，所以还要排除重复的情况.当k=1，2，3，5，6，7时，都没有重复出现，只有当k=4时，有3个数与的k=1时的数重复，分别是 =1， =2， =3，因此P7中的元素个数为49-3=46个.

点评：本题考查集合概念的理解和计数原理的应用，理解集合Pn中的元素性质是解题的关键.解题过程中容易忽略集合中元素的互异性而出现错解49个.所以理解集合中元素的属性时不要忘了集合中元素的三个特性，即确定性、无序性、互异性.只有抓住这些特点，才能够在解题中避免出错.本题也可以用列举法解决.

总结：通过对2013年广东及全国各地高考中对集合综合性题型的研究，大家应该可以感受到，集合在高中数学中的基础性地位，它可以充分融入到其它数学分支中，例如：例1中的不等式，例2中的线性规划，变式1中的函数等，在知识的交汇点命题，形成问题的呈现，着重考查数学思想方法和能力.解决此类问题的关键是集合中的元素，用集合的语言和思想去思考问题，只要抓住了集合中的元素及其属性就抓住了集合的本质，那么对集合的含义理解和集合关系的判定问题就会迎刃而解了.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚