罗素悖论是否有解

吴婷婷

摘 要：19世纪下半叶，德国数学家康托尔提出了著名的集合理论。这一理论在数学界有着深刻的影响，其严密性得到广泛的认可。然而，1901年前后，英国哲学家、逻辑学家、数学家罗素提出了著名的罗素悖论，深深的动摇了康托尔的集合理论。为解决这一悖论，数学界、语言学界和哲学界纷纷展开了激烈的讨论，然而，迄今为止，仍然没有令人满意的完美解决方案。本文就以罗素悖论的解决问题为重点展开讨论，就不同时期关于罗素悖论解答的著名理论进行论述与分析，探讨隐藏在语言悖论后的哲学问题。

关键词：语言哲学；罗素悖论；类型论；新解

中图分类号：H0-09 文献标识码：A 文章编号：1673-2596（2013）09-0032-03

一、引言

悖论（paradox）又称逆论或反论，由希腊文“para”和“doxs”两词而合成，“para”意味着超越，“doxs”意为相信。战国时期的大思想家墨子也曾在著作中提到悖论，他说：“以言为尽悖，悖，说在其言。”（《墨经下》）。关于“悖论”一词的起源迄今还未有定论，不过早在古希腊时期就有了关于悖论的记载。一个命题，用公认的推论方法去论证，命题的两面居然可以同时推导出来。也就是它即像是正确的可却又被证明出是错误的，着实令人难以判断，这就是悖论。陈嘉映教授在《语言哲学》一书中指出悖论总是包含两个要素，一个是自指，一个是否定。因此，在“我说的这句话是谎话”、“所有话语都是谎话”、“有些话语是谎话”、“所有话语都是真话”、“我这句话以外的所有话语都是谎话”这四句话中，前两句话暗含了悖论而后两句话则没有，因为“所有话语”这种论断中的“所有”包括了这句话本身，也就是说这句话是带有自指性。而“所有话语都是真话”之所以不包含悖论，是因为它不包含否定。古今中外有许多著名的悖论，其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。在很长一段时间里，悖论被认为是诡辩或是游戏，它对人类认知的价值并没有得到充分的认可。事实上，悖论的成因极其复杂和深刻，它不仅涉及数学和逻辑学知识，更是对人类思维精密性和深刻性的考验，悖论的解决时建立在对逻辑和哲学深入研究的基础之上的，解悖的过程往往可以给人们带来全新的思路和观念。

二、罗素悖论及其逻辑分析

19世纪下半叶，德国数学家康托尔提出了著名的集合理论。这一理论在数学界有着深刻的影响，其严密性得到广泛的认可。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称集合论概念使得数学界达到了绝对的严格性。然而，不久之后，这个所谓的完美集合理论就被发现是有漏洞的。1901年前后，英国哲学家、逻辑学家、数学家罗素针对康托尔的集合论提出了质疑，震惊整个数学界，这就是著名的罗素悖论。

罗素悖论定义：把所有集合分为两类，第一类集合指所有包含集合自身的集合；第二类集合为所有不以自身为元素的集合，假设第一类集合所组成的集合为M，第二类所组成的集合为N，于是有：M={A|A∈A}，N={A|A∈A}那么，M∈N的同时岂不是又得出N∈N么？但是如果M∈N，那么根据第一类集合的定义，必有N∈N，但是N中任何元素都满足A？埸A的，于是得出结论：因为N∈N，所以N￠N，就出现了矛盾。反之，如果N∈N，那么根据对于第一类集合的定义，得出N∈M，但是显然M∩N=？覬，所以N？埸N，依然会有矛盾。罗素悖论的定义其实就是围绕着“某些事物的类是不是这些事物中的成员”这个问题展开的，因为无论回答是或否都是不合逻辑，陷入矛盾之中。

为了更好的说明这个问题，罗素后来又提出了一个通俗版本，也就是理发师悖论。在某个小城镇上有一位理发师，他在城中打出了一个广告，广告上写着：“本理发师技艺高超，但是，本人只为城中所有不给自己刮脸的人服务，欢迎大家前来！”自然，小城镇中来找着位理发师刮脸的人都是那些不给自己刮脸的人，最起码在他们接受理发师服务的时候他们是没有给自己刮脸的。但是，没过多久，问题就出现了，理发师胡子长长了，那么此时他到低是否应该给自己刮脸呢？如果理发师不给自己刮脸，那他就是那些不给自己刮脸的人中的一员，是符合要理发师也就是他自给服务的对象了。可当他拿起刮胡刀为自己刮脸的时候，他就又不符合“不给自己刮脸”的条件了。试问理发师应不应该为自己刮胡子呢？表现看来，罗素悖论在很大程度涉及到数学上的基础问题，但它与语言哲学却也密不可分，息息相关。

三、罗素悖论的消解方案

悖论的出现似乎对逻辑的可靠性提出了很大的质疑，同时也动摇着人们的理性基础，因此，引起了数学界，逻辑学界，乃至哲学界学者们的探讨和争议。1901年罗素悖论的发现更是引起了数学界的第三次危机，此后，包括罗素本人在内的众多学界精英都投入到了解决悖论的研究之中，产生了众多解决方案，但却始终难以达成普遍的认可。既是在21世纪的今天，关于解除罗素悖论的研究仍然是各个学界一个日久弥新的问题。

（一）罗素的类型论

类型论是罗素本人为了解决悖论而提出的，这个理论也是罗素的著作《数学原理》的主要思想。罗素认为康托尔的集合论出现的问题不仅仅是数学问题，这其中也包含了逻辑问题，本质上就和说谎者悖论相似。想要解决悖论问题就必须从逻辑上入手，加以改造，消除悖论的同时保持数学的原样。

逻辑悖论涉及到数学上的几个基本概念，比如说：命题、类、基数……罗素把它们归结为命题和命题函项，命题函项或者说函数是数学中的概念。在数学概念中，命题是指一个有真假值的表达式或是语句，而命题函项则是指那些含有变量的表达式，当变量确指某个确定的数或者值的时候，这个函数表达式就成为一个具体的命题，函项本身用F（a）、F（b）等表示。类型论中的“类型”指的就是某个函项的意义域。意义域是指一些元素组成的集合，当该函项的变元取这个意义域中的任意一个元素作为值时，所得到的命题都有意义（即可判断真假）。根据这个定义，函项中的变量或者变元都只能取意义域中的某个值（也就是类型中的某个值），但是变元的值并不可以根据自己的意愿随意选取，变元本身不能反过来先预设函项的值。函项的变元的取值受到限制并且分为不同的类型，因此便产生了类型论的分层问题。用日常生活中的语言来理解，就是把函数中的变元对应到实在的简单对象上，比如说a、b用来替代满足某个句子的词语，例如满足句子“___是红色的”中的“红旗”、“鲜血”，罗素自己也把类型对应到实际的语言中去，比如：“如果我们取人作为类型0的实体，那么聪明就是类型1的实体，因为我们可以有意义地断定（虽然也许不是真的）苏格拉底是聪明的，基本道德就是类型2的实体，因为我们可以有意义地断定聪明是基本道德，一般说来，每一个属性具有比它能对之加以肯定或否定的实体更高的类型。”这也说明，罗素认为类型本身分为不同的层次。

另外，根据罗素的理论，若两个实体都可以对应一个函项变元的值，它们属于同一类型。比如，句子“X是著名的作家”可以看做是一个函项，该函项的变量X在实际交际的语言中可以对应不同的实体，我们可以说“莫言是著名的作家”也可以说“沈从文是著名的作家”，因此“莫言”和“沈从文”具有同样的类型。不难看出，对于某个函项，其变元的值被与之同类型的值的对象相互替换时，该函项或者命题本身依然是有意义的，但是如果与不用类型的对象进行替换，得出来的命题便失去了意义。比如，如果我们把“莫言”和“作家”一次进行替换原命题就变为“作家是著名的作家”，毫无意义的循环语句。罗素指出，“这是一个浅显的事实，但不幸的是，几乎所有的哲学都企图忘掉它”。

（二）类型论面临的困难

类型论虽然在一定程度上规避了悖论的产生，但是在实际应用中也面临着诸多困难。罗素本人也承认，类型论“在很大程度上还是初创的，混乱的，模糊的”。其中一个很大的问题就在于类型论的核心思想是避免恶性循环，但是类型论的表述本身却会破坏“避免恶性循环”的规定，因为对于类型论中的“函项”、“类型”的类型是没有限制的。因为，一个关于函项本身的命题也就是一个函项，毫无疑问根据罗素的理论，这变成“恶性循环。如此，类型论连本身的表述问题都难以解决。

当然，有人认为上述问题是是可以通过规定避开的，但事实上，“类型”本身的问题也更加棘手。由上文得知，函项中的变元的值如果被具有同类型的值的对象替换的时候这个命题或者函项依然有意义，反之则会得到无意义的命题。这条结论在被用于与“类型”本身相关的函项时就会产生问题，比如，命题“铅笔和橡皮具有同一类型”，如果把橡皮换成“便宜”那么命题“铅笔和便宜具有同一类型”就会被判断为没有意义的假命题。现在若把橡皮用变元X替代。原函项就变成“铅笔和X具有同一类型”，在数学语言之中，这个推导出的函项本身是成立的，因为可以对“橡皮”加以肯定，而对“便宜”加以否定。在日常生活中，影响我们判断的往往还有一个重要因素——语境。限于篇幅这里就不加详述。

针对康托尔的集合问题，德国数理逻辑学家策梅洛也曾提出著名的公理集合论公理系统，使得集合在公理的限制下不会太大，从而避免了罗素悖论。后期这个系统发展成为了现在的ZF系统的公理集合论体系。这里也不再赘述。

（三）从语言本质属性对解悖的探索

悖论消解的研究大多是关于数学逻辑公式的改进，常借助于人工语言。然而人工语言很难解决元语言问题。自然语言则是最根本的语言，如果从自然语言入手，通过研究语言的本质属性而对悖论加以解释，也许也能为解悖打开一扇门。

学界往往把悖论分为两种，逻辑悖论和语义悖论，著名的说谎者悖论是语义悖论的代表，而罗素悖论是逻辑悖论的代表。但事实上，这种划分也只是约定俗成而并没有严格的分类标准。国内现也有学者对这两种悖论展开了深入研究，有些结论值得参考。2009年，北京大学学报《悖论的语言结构：递归否定》一文对悖论的自然语言展开了探讨。该篇文章谈到，通过对悖论语言的分析，所有的悖论无论是逻辑悖论还是语义悖论，其产生往往有三个条件：第一：层阶条件（存在不同的语言阶层，如对象元和元语言）；第二：重指条件（存在指称不同层阶语句的重指词或词组如“这句话”）；第三：递归否定条件重指的两个句子形成循环否定或递归否定。罗素的解决方案区分了层阶的高低并且通过规避限制重指。而没有涉及第三个条件，也就是递归的否定。递归和层阶是语言的基本属性，以上三个条件只要否定一点即可消除悖论，因而对悖论消解的研究也可以试着可以从消除递归否定入手。比如说“理发师悖论”是可以分析为：

村子里的人如果给自己理发→理发师就不给他理发

由于理发师属于村子里的人，于是就有：

如果理发师给自己理发→理发师就不给自己理发

即：理发师给自己理发→（理发师给自己理发）假

于是就形成上面的递归否定式“X→X假”。

同样的罗素本身提出的集合论悖论也同样可以用递归否定解释。限于篇幅这里不展开。该篇文章还指出虽然内部循环是产生悖论的一个必要条件，而区分层阶的目的是为了避免内部循环，但是由于在语言中很难避免内部循环，因此，指从层阶的区分来避免悖论是不可行的。那么，如何排除递归否定，可能是消除悖论的关键。

四、总结

1901年前后，罗素悖论的提出深深地动摇了康托尔的集合理论，震惊整个数学界，悖论的产生涉及到逻辑、数学、语言、以及哲学等各个领域，解决悖论要认识到其中的困难性和复杂性，也是对人们思维的新的挑战。类型论、公式化集合理论、以及语言递归的否认都在一定程度上解决了罗素悖论，但是迄今为止还未得到完美方案。解悖之路是人们认知探索之路，人们要克服自己的片面性和思维的局限性，在不断求索中进步。

参考文献：

〔1〕N.WHITEHEAD and B.RUSSELL. Principia mathematica [M].Cambridge： Cambridge University Press， 1957.

〔2〕陈保亚，陈樾.悖论的语言结构：递归否定[J].北京大学学报（哲学社会科学版）2009（5）.

〔3〕陈波.逻辑哲学[M].北京：北京大学出版社，2005.

〔4〕陈嘉映.语言哲学[M].北京：北京大学出版社，2006.

〔5〕[英]罗素.逻辑与知识[M].北京：商务印书馆，1996.

〔6〕[英]罗素.我的哲学的发展[M].北京：商务印书馆，1982.

〔7〕[英]罗素.哲学问题[M].北京：商务印书馆，1999.

〔8〕[英]威廉·涅尔，玛莎·涅尔.逻辑学的发展[M].北京：商务印书馆，1985.

〔9〕赵春曦.语言悖论的哲学问题[J].学术交流2009（3）.

（责任编辑 徐阳）