空间曲面的方向曲率与对点方向曲率及其算法

齐良平 褚宝增

[摘要]在力学及许多工程技术问题中，如何定量地刻画空间曲面的弯曲程度十分重要。本文通过对平面曲线曲率具有普遍性的推导方法，推广到空间曲面的方向曲率与对点方向曲率，并得出了方向曲率是最小曲率的结论。

[关键词]空间曲面 方向曲率 对点方向曲率

一、平面曲线的曲率

首先介绍平面曲率具有普遍性的推导方法，为下边空间曲面的方向曲率与对点方向曲率的公式推导提供参照依据[1][2]。

假定曲线y=y（x）二阶可导。da表示曲线上某点处切（法）向量的变角，曲线在此点的一个切向量为

设曲线上某点为 ，点A，B处的切向量分别为

二、曲面的方向曲率

借助曲率由平面曲线推广到空间曲线的思想[3]，容易想到是否可以推广得到曲面的“曲率”，事实上，曲面并无曲率的意义，因为曲面上经过同一点的多条曲线在这一点的曲率未必相同，因而也就难以把它们统一起来。但若给定了曲面上弧增量的取向，令变角为法向量变角，则曲面在该点沿给定方向的曲率存在，并且可求。

定义1：（方向曲率）设有光滑二阶可微曲面，点P（x0，y0，

z0）∈∑，∑在P处一个法向量为 ，给定弧增量

△s的取向为 ，△α为法向量变角，若

存在，则称K为∑在P处沿 方向的方向曲率，记

。

关于定义的说明： 并非任意，如果 与 不垂直，则按

取微小增量后将离开原曲面∑。

下面给出计算公式的推导：

设光滑二阶可微曲面，点P（x，y，z）∈∑，∑在P处一个法向

量为 ，给定弧增量△s，取向为

为法向量变角， 。

定理：曲面∑在点P处沿 方向的方向曲率不大于∑上 经过P，且以 为在P的一个切向量的曲线C在P处的曲率。

简而言之：方向曲率是最小曲率。

证明：如图-1，对曲率相应地有曲率中心[4]，设与P相应的曲率中心为O，给增量△s后得到点Q，∑在P，Q的一个法向量分别为 ，C在P，Q的一个切向量分别为 。则

分别以OP，OQ为垂线，P，Q为垂足作平面 。

所成二面角为 ，得 ，

所以在△s相同的情况下△α为最小，取极限后仍如是。故此说方向曲率是最小曲率。

三、曲面的对点方向曲率

定义2 （对点方向曲率） 已知空间一定点P，曲面∑及其上一点D，∑在D处一个法向量为 ，给D处沿 方向 一个弧增量△s，得到点E， ，若 存在，则称K为∑在D沿 方向对P的曲率，记 。

曲面∑在D处沿 方向对P的曲率与∑上任意经过D且以

为在D的一个切向量的曲线C在D对P的曲率相等。

曲面的方向曲率、对点方向曲率可称为广义曲率。有了曲面的方向曲率、对点方向曲率的定量结果，对曲面弯曲程度的认识便可更加准确。

[参考文献]

[1]郑利凯，平面曲线曲率计算公式的探讨[J].河北北方学院学报（自然科学版），2012， 5：20-21.

[2]褚宝增，陈兆斗.高等数学（上册）[M].北京：北京大学出版社，2008，8：109-112.

[3]梁林，毛瑞.空间曲线的曲率圆问题新探[J].楚雄师范学院学报.2012， 3：28-39.

[4]崔凤午.空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率[J].武汉科技学院学报.2010，2：41-43.

（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院 北京）