关于同理可证的教学准备

褚宝增　赵俊芳　廉海荣　耿凤杰

[摘要]同一个定理中含两种情况时，或不同的相似定理间，在证明过程中对后者往往使用“同理可证”一语代过。多数证明是明显的同理可证，然也存在一些证明并不是简单的同理，需要做一定的先期变换方可。教师在备课时应当有所准备。

[关键词]定理证明 同理可证 教师备课

一、同理可证的概念

在数学教学过程中的“同理可证”，对于多年在教学一线的教师而言，确实“同理”即“可证”，对于刚刚接触到新的学习内容的学生而言，觉得“同理”未必“可证”。如何避免课堂教学过程当中学生提问的突然性，就要求教师在课堂教学前对“同理可证”做充分的教学准备。

“同理可证”是数学定理证明中时常使用的手段，其具有易于阅读、过程简洁的特点。从数学理论上说，证明命题A与证明命题B同理是指：证明命题A与证明命题B或者用了相同的定理，或者用了相同的方法[1]。

“同理可证”的使用，必须注意同理的对应范围，且“同理”得出的结论必须是明显的，如果过程复杂，不建议用“同理可证”。特别是具有对称性时，最应选择“同理可证”。

二、直接的同理可证

例如在《高等数学》中，关于极限保号性的定理，就应该用“同理可证”的手段[2]。

定理（局部保号性） 若 （或<0），

则对任意正数r（0

使得对一切x∈N ，恒有地f（x）>r>0（或f（x）<-r<0）。

证明：当A>0时，取ε=A-r>0，由函数极限的定义，存在正数δ，使得对一切 x∈N 有|f（x）-A|

即0

所以 f（x）>r>0

当A<0时，此处适合使用“同理可证”。“同理”过程如下：

取ε=-A-r>0，由函数极限的定义，存在正数δ，

使得对一切x∈N 有|f（x）-A|

即2A+r=A-（-A-r）

所以f（x）<-r<0

从上面这个例子可以看出，除了极少数细节外，其证明过程几乎完全一样[3]。

三、需要调整后的同理可证

例如在《积分变换》中，关于Fourier变换的卷积定理，就无法直接用“同理可证”的手段[4]。

定理 设函数f1（x）和f2（x）都满足Fourier积分定理的条件，则

① （1）

② （2）

证明①：有定义

交换积分次序得

在内层积分中令x-η=y，则

于是

在证明定理中结论②时，显然不是直接的“同理可证”。因为定理结论①中等号左边中括号里是“卷积”，而定理结论②中等号左边中括号里是“乘积”，意义完全不同。为了解决教材中的“同理可证”，需对定理的结论②做如下处理：

要证明（2）式，即须等价证明

即

亦即

（3）

此时的（3）式与（1）式差别只在F与F-1、1与2π两点了，由此再结合Fourier逆变换的定义

（3）式与（1）式“同理可证”才称顺理成章了。

总之，对带有隐蔽性的“同理可证”，教师必须加以小心并课前充分准备。

[参考文献]

[1]印鉴，李师贤.一种基于事例推理的检索模型[J].中山大学学报（自然科学版），1999，2：1-10.

[2]褚宝增，陈兆斗.高等数学（上册）[M].北京：北京大学出版社，2008年8月.

[3] 赵明方.Max（f，g）与Min（f，g）的若干性质及其应用[J].四川师院学报（自然科学版），1981，3：12-16.

[4] 张元林.积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003年12月.

（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院 北京）