一种提高电力系统频率检测精度的改进CZT算法

刘广孚，夏 雲，张 珊

(中国石油大学信息与控制工程学院，山东青岛266580)

频率是电力系统的主要参数之一，它可以作为系统的状态反馈量，故在实际应用中有着举足轻重的作用［1-2］。比如，如果频率超出了限定值，说明负载可能出现了不匹配现象。此外，频率也可以用于估计其他电力参数，例如电压、电流信号的振幅和相位等参数［3］。总之，在电力系统中，有效的功率控制，负载保护继电器的脱落和恢复设置，以及电能质量的监测与保护等相关功能及应用，都需要进行可靠且准确的频率测量工作。文献［4］和［5］对现在流行的一些测量信号频率的方法进行了总结对比。在众多的信号处理算法中，线性调频Z变换(chirp Z-transform，CZT)算法被认为是是检测信号基波的最好的算法之一，它可以细化要分析频段的频谱，得到很高的频谱分辨率［6-7］。文献［8］和［9］指出 CZT算法可以在不增加观察窗长度以及运算负担的情况下提高频谱分辨率，也不需要插值或者补零。笔者讨论CZT的频率分析精度，并通过频谱分析CZT的误差及原因。

1 CZT算法基本原理

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform，DFT)算法是在Z平面的单位圆上进行Z交换，而CZT算法是在Z平面的一段螺旋线上进行Z变换［10-11］。一般来说，设一个有限长度序列x(n)的Z变换为

其中

式(1)定义了如图1所示的分布在Z平面上的螺旋线的走势。其中，W0表示螺旋线的伸展率;A0和θ0表示Z平面上起始采样位置;φ0为螺旋线上采样点之间的等分角［12］。

图1 CZT的螺旋线采样Fig.1 Spiral contour in CZT

由图1知，CZT要分析的频段为 fw=［fmin，fmax］，它被细化出M个采样点(这里的M不需要与时域数据点数N相等［13］)。该频段的上下边界频率的表达式为

其中，fs表示采样频率。一般地，CZT的频谱分辨率定义为

而DFT的频谱分辨率为

其中，TN=N/fS为采样时间，即采样信号的时间长度。

DFT的频谱分辨率完全取决于采样时间(或观察窗宽度)，而CZT的频谱分辨率与观察窗的宽度无关［14］。根据式(7)，即使采样时间很短，只要M足够大，CZT频谱分辨率就可以任意小［15-16］。

在CZT中，当A0=1，W0=1时，螺旋线变成了单位圆，而单位圆是螺旋线的特例。当θ0=0以及φ0=2π/N 时，即分析频段为［0，fs］(fs为采样频率)时，一段螺旋线就变成了完整的单位圆，而DFT就是在这个单位圆上采样的。当M=N时，CZT就是DFT，所以DFT是CZT的一个特例。

在CZT中，一般M≥N，fmin＞ 0，fmax＜ fs，所以其频率分辨率高于DFT。

2 CZT频率误差分析

CZT因为具有很高的频率分辨率而得到了广泛应用，但对其频率精度或者误差的研究则较少。虽然当M足够大时CZT的频率分辨率会非常高，但其误差并不一定很低，即CZT的频率分辨率和频率精度是两个概念，不可混淆。本文中从频谱的角度讨论其误差原因及特性。

2.1 CZT频率误差

因为实际电力信号中的主要频率成分是基频，其谐波及次谐波成分相对很弱，所以可以近似看成是单频信号。首先分析单频信号的CZT误差，然后再对电力信号进行分析。设频率为50 Hz的单频信号为

其中初相位为5°，便于与后面的电力仿真信号相对比。CZT算法的相关参数设置为:采样频率fs=10 kHz，数据时间窗宽度或采样时间TN=0.1 s，细化频率段fw= ［10 Hz，90 Hz］，频域点数M=500。得到的CZT频谱如图2所示。

图2 式(9)所示的单频信号的CZT频谱Fig.2 CZT frequency spectrum of single tone signal in equation(9)

在图2所示的频谱中，主瓣的最高点(即幅值最大点)对应的频率值(49.84 Hz)就是由CZT算法计算出来的信号频率，称之为CZT频率。理想的频谱是关于真实信号频率(这里指50 Hz)左右对称的，即主瓣最高点正好落在信号真实频率上。但是当最高点不在这个位置上的时候，即算出的CZT频率不等于信号真实频率，有一定偏差，这一偏差就是CZT频率误差，称为CZT误差。

仿真结果表明，采样时间的长短会影响CZT误差。

2.2 采样时间对CZT误差的影响

电力信号的谐波成分一般都在2 kHz以下，所以设置采样频率fs=10 kHz。为了研究采样时间的长短对CZT频率分析的影响，用不同长度的数据分别进行处理，设置采样时间分别为0.18、0.14、0.1、0.06 s。为观察工频信号附近的频谱变化，将细化频率段设置为fw=［10 Hz，90 Hz］。这里主要讨论采样时间的影响，对分辨率要求不高，所以设置M=500，则根据式(7)可知CZT频谱分辨率为0.16 Hz。利用CZT算法对式(9)所示的单频信号进行处理，得到频谱如图3(a)所示。

图3 不同采样时间下的单频信号的频谱Fig.3 Frequency spectrums of single tone signal with different sampling time

由图3可知，采样时间越长，主瓣越窄，同时主瓣最高点的偏移程度相应地也越小，在图3(b)所示的局部放大图中可以清楚地观察到这一特征。由此可知，CZT的误差是受采样时间影响的，采样时间越长，CZT误差越小。更多的仿真结果表明，当M足够大时，CZT误差几乎与M无关，也就是说，CZT的频率分辨率与频率精度是两个不同的概念。

2.3 信号初相位对CZT误差的影响

仿真结果表明，不但采样时间影响CZT误差，而且信号的相位对CZT结果也有很大影响。当采样时间TN=0.1 s，M=500时，选取一些特殊的信号相位值(在0°～180°范围内每间隔30°取一个相位值)，利用CZT分别计算不同相位下的信号频谱，结果如图4所示。当信号的相位不同时，CZT频谱的幅值不同，频率误差(频谱主瓣最高点偏离真实频率的程度)一般也不相同。例如，当初相位为60°时CZT频谱(红色曲线所示)的CZT频率误差为+0.2 Hz，而当初相位为150°时(青色曲线所示)CZT频率误差为－0.2 Hz，其结果相对于真实频率值基本对称。同样0°与90°的 CZT 频率误差、30°与120°的频率误差也是基本对称的。

由图4可看出相位相差90°的信号的CZT结果(频谱最大点)虽然幅值不同，但从位置上看似乎对称于真实值(50 Hz)两侧。为了验证这种对称性的一般性，设两个仿真信号

图4 不同相位下的单频信号的频谱主瓣最高点位置Fig.4 Highest points of main lobe of single tone signal frequency spectrum with different signal phase

当相位ψ从0°到360°连续变化(间隔0.1°)时，计算各相位时的CZT频率。参数设置为:采样频率fs=10 kHz，M=500，细化频率段 fw=［10 Hz，90 Hz］，采样时间TN=0.1 s，频率分辨率RCZT=0.16 Hz。结果如图5所示。为了验证其是否严格相对于真实频率值对称，将两组CZT频率值对应地取平均。结果表明，其对称性只是近似的、不严格的。尽管如此，取平均值后的频率精度已经大大提高。

图5 不同相位下的式(10)的两信号CZT频率Fig.5 CZT frequencies of two signals in equation(10)with different signal phase

3 改进的CZT算法

对于两个相同频率、相同采样时间的相位差为90°的信号，其CZT频率相对于真实频率值近似对称。如果将两个CZT频率求取平均值，则会使频率误差大大降低。因两信号相位差为90°，可称为正交信号，故该方法称为正交平均CZT算法［17］(orthometric average CZT，简称 OACZT)。

对于一个信号序列，可以根据预估的信号频率值从信号中抽取出两个正交信号子序列，然后分别计算CZT频率并求取平均值。具体实现方法如下:

对于任意待分析信号x，假设其频率(这里指基频)为f0(对于电网信号则为50 Hz，对于其他信号可由CZT算法估计)，采样频率为fs，则数据点数为N=TNfs的离散序列X定义为

(1)计算90°相位所对应的数据长度Nq(即1/4个信号周期长度):

其中，Nq必须是整数。

(2)从X中截取两段长度为(N－Nq)的子数据序列X1和X2:

这样得到的X1和X2是正交的，即相位差为90°，如图6所示。

(3)利用CZT算法计算出X1的CZT频率值fCZT1和X2的CZT频率值fCZT2。

(4)计算两个频率值的平均值:

这样就利用OACZT算法得到了精度远高于CZT的信号频率值。

分别利用CZT和OACZT算法对式(9)所示的单频信号计算不同采样时间下的信号频率。仿真参数设置为:采样频率fs=10 kHz，频域点数M=28700，细化频率段 fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，则根据式(7)算出CZT频谱分辨率为RCZT=(52.5－47.5)/(28700－1)≈0.0002 Hz。得到的结果如表1所示。

图6 X1和X2在时域波形上的位置关系Fig.6 Time-domain waveform positional relationship between X1and X2

表1 单频信号CZT与OACZT频率结果对比Table 1 Comparison of CZT and OACZT frequencies of single tone signal

关于M的取值，要从两个方面考虑。一方面是分辨率，更多的仿真分析表明，太高的分辨率是没有实际意义的，一般使分辨率值达到频率精度的几分之一即可;另一方面要与数据点数相结合，当(M+N－1)小于2m(m为可能的最小整数)［12］时，在CZT计算时会在计算过程中对数据序列自动补零，所以M的取值应使(M+N－1)尽量接近或等于2m，在不加大计算量的同时尽量提高分辨率。

由表1可知，随着采样时间的增加，CZT误差和OACZT误差都呈现减小的趋势;而相同采样时间下，OACZT算法与CZT算法相比，其频率精度至少提高了20倍。

4 电力仿真信号实验

在以上的讨论中，仿真信号均为单频信号，而电力信号中含有丰富的谐波成分，本文中讨论OACZT用于分析电力仿真信号时的基频精度。

4.1 电力仿真信号频率分析

根据实际采集的受污染非常严重的电网电压信号的频谱，生成了一个电力仿真信号。其基频和各种主要谐波成分的详细参数(包括频率值、幅值和相位值)如表2所示。其中三次、五次和七次谐波相对比较严重，分别为9%、5%、0.6%。该信号的时域波形图和频谱图如图7所示。

表2 电力仿真信号各主要成分参数Table 2 Parameters of main components in simulated power signal

图7 电力仿真信号的波形和频谱Fig.7 Wave form and frequency spectrum of simulated power signal

首先利用CZT和OACZT算法分别计算电力仿真信号的基频，参数设置与计算单频信号时一致。结果如表3所示。将表3与表1对比可知，电力仿真信号的CZT误差及OACZT误差均略有增大，但差别甚微。可见，将OACZT应用于电力信号的基频分析是完全可行的，在相同采样时间下可大大提高其基频分析精度。

表3 电力仿真信号CZT与OACZT频率结果对比Table 3 Comparison of CZT and OACZT frequencies of simulated power signal

4.2 谐波对CZT频率的影响

电力仿真信号的分析结果表明，谐波的存在会影响CZT基波频率，从而间接影响OACZT基波频率，其原因可以通过频谱进行解释。在图8(a)中分别画出了电力仿真信号的基波(单频信号)的频谱、电力仿真信号的频谱和3次谐波分量的频谱，并在图8(b)和图8(c)中对频谱顶部和底部进行了局部放大。

由图8可知，相比于基频信号的频谱主瓣最高点，电力仿真信号的主瓣最高点略向左偏移，并且幅值也略大，故CZT误差略有增大。

谐波之所以会影响基波的CZT频率，是因为谐波成分(这里指三次谐波)的频谱旁瓣(图8(a)和(c)中的红色曲线)在基频处虽然很弱但仍有一定的值。电力仿真信号的频谱主瓣其实就是基波主瓣与谐波旁瓣对应相加的结果，所以谐波无可避免地会对信号主瓣产生影响。同时应该注意到，谐波相对于基波而言是很弱的，其旁瓣就更微弱了，所以谐波使基波主瓣最高点产生的偏移量是很小的，远小于相位的影响，所以相位相差90°的两信号的主瓣最高点仍然近似关于真实基波频率值对称。所以，OACZT应用于电力仿真信号是完全可行的。

图8 基频附近的各类频谱Fig.8 Different kinds of frequency spectrums near fundamental frequency

根据表3的结果可知，采样时间越长，CZT和OACZT的频率精度也越高，而在同样的采样时间内，OACZT比CZT的频率精度要高得多。例如当采样时间为0.4 s时，利用OACZT处理电力仿真信号，得到其基频为50.001 Hz，误差0.001 Hz，与传统的CZT结果(49.981 Hz)相比，精度提高了大约20倍。

5 实际电网信号的频率波动分析

5.1 实际电网信号频率分析

基于本文提出的OACZT算法，对某电网电压信号进行了连续频率分析(采样频率为10 kHz)，在图9中画出了该信号的时域波形图和频谱图。其三、五、七次谐波与基波的幅度之比分别为1.3%、1.9%、1.2%，比表2的电力仿真信号更加接近于单频信号。

图9 实际电压信号的时域波形和频谱Fig.9 Wave form and frequency spectrum of real voltage signal

5.2 实际电网信号动态追踪

实际电网信号的基波频率是连续波动变化的，要跟踪频率的这种动态变化，就必须使采样时间尽量短。根据表3的结果可知，对于电力仿真信号，当采样时间为0.4 s时，CZT频率精度约为0.02 Hz，而OACZT频率精度约为0.001 Hz;当采样时间为0.2 s时，CZT和OACZT的频率精度分别约为0.08和0.003 Hz。可见，OACZT在很短的采样时间下仍有相当高的频率精度，能够很好地应用于频率动态跟踪。当然，采样时间越长，频率精度也越好，所以要根据具体分析要求确定采样时间。如果要求很高的动态性和实时性，就必须以牺牲频率精度为代价。

为了追踪监控电力系统频率的动态性，对连续采集1 min的电压数据每0.4、0.2和0.1 s计算一次基频值，并分别用CZT和OACZT进行计算，得到图10中的电压频率波动曲线。计算参数设置为:采样频率fs=10 kHz，细化频率段fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，M=28700。

因为电网电压的频率是波动的，采样时间越短越能反映频率波动的动态性能，而且其波动范围很小。在图10(a)中，因为采样时间TN=0.4 s下的OACZT频率误差为0.001 Hz，而信号频率波动约为0.02 Hz，所以其结果表现了电网频率的真实波动情况;而CZT的频率误差大约是0.02 Hz，在该采样时间下，CZT已不适合分析其频率波动情况。当采样时间变短时，如图10(b)和(c)所示，CZT算法的误差更大，远远大过信号频率的实际波动值;但是OACZT算法仍旧保持着一定的精度，采样时间TN=0.2 s(图10(b))时的OACZT精度约为0.003Hz，而采样时间TN=0.1 s(图10(c))时的OACZT精度约为0.006 Hz。所以，OACZT比CZT更适合于分析信号基波频率的波动情况。

图10 实际电压信号动态分析结果Fig.10 Dynamic analysis results for real voltage signal

6 结束语

从频谱上分析了CZT误差的原因，指出CZT误差与采样时间及信号初相位有关，并且两个正交信号的频谱主瓣最高点是关于真实频率值近似对称的。根据这一正交对称性，提出了一种改进的CZT算法，即OACZT算法。对单频信号和电力仿真信号的仿真结果均表明，在相同采样时间下，OACZT算法比CZT算法具有更好的基频计算精度，其分析精度比CZT提高了至少20倍。分析了谐波影响基波分析精度的机理，并指出对于电力信号，其谐波对基波的分析精度的影响是很小的。最后，利用OACZT算法分析了1 min的实际电压信号的基波频率波动情况，结果显示，CZT算法只有在较长采样时间下才能追踪到基频的变化，而OACZT算法可以在很短的采样时间(仅为0.1 s)下精确地监测到基频的波动情况，实时性更好。

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