有限群p-超可解性的一个判别准则

闫文爱, 张志让

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

0 引言

所讨论的群皆为有限群,文中所用符号为标准的,未交代的概念与符号可参见文献[1-2].

一个群称G为p-超可解的,如果G的任一主因子H/K为p阶或p′-群,如果任意素数p,G为p-超可解的,则称G为超可解群.p-超可解群与超可解群都是特殊而重要的群类,关于 p-超可解群的一个熟知的结论是一个可解群G为p-超可解的当且仅当它的每个极大子群的指数为p或为p′-数.许多群论专家都对超可解群进行了深入的研究,如文献[3]利用子群覆盖系统给出了 p-超可解群的重要刻画;文献[4]中利用子群的补充研究了p-超可解与p-幂零群的一些性质与判定准则.

研究有限群的超可解性和 p-超可解性的一个重要手段是利用子群的各类置换性质,特别是某些准素子群的置换性质,设A,B为群G的两个子群,如果 AB=BA,那么 A被叫做与B可置换的,群G的一个子群H如果与G的所有子群可置换,则称H为G的置换子群或拟正规子群[5].置换子群的概念以多种形式被推广,如文献[6-12]等所做的工作.特别地,在文献[6],作者引入z-置换子群的概念并给出了有限群结构的一些非常有意义的描述,这里将进一步推广z-置换子群的概念,并给出有限群p-超可解性的一些新的判别准则.

1 预备知识

设G是一个群,集合z称为群G的Sylow子群的完全集[6],如果对于任意的素数 p∈π(G),z恰好包含G的一个Sylow p-子群,设N是群G的正规子群,群G的子群集zN:

zN={GpN｜Gp∈z}

G/N的子群集zN/N:

zN/N={GpN/N｜Gp∈z}

群G的子群集z∩N:

z∩N={Gp∩N｜Gp∈z}

可以知道,zN/N,z∩N分别为G/N和G的Sylow子群的完全集.

定义1[6]设G是一个群,z为群G的Sylow子群的完全集,群G的子群H称为在G内z-置换的,如果H与z的每一个元素可换.

定义2 设z是群G的Sylow子群的完全集,群G的一个子群H称为在G内z-置换嵌入,如果H的每个Sylow子群也是G的某个z-置换子群的Sylow子群.

下面给出z-置换子群的一些基本性质.

引理1 设z是群G的Sylow子群的完全集,H和K是群G的子群,则有下面结论:

(1)如果K◁G,那么z∩K,zK/K分别是K和G/K的Sylow子群的完全集;

(2)如果H在G中z-置换嵌入且K在G中置换,那么 HK在G中z-置换嵌入;

(3)如果H在G中z-置换嵌入且K◁G,那么HK/K在G/K中zK/K-置换嵌入;

(4)如果K◁G且K⊆H,那么H在G中z-置换嵌入的充要条件是H/K在G/K中zK/K-置换嵌入;

(5)如果H在G中z-置换嵌入且K◁G,那么H∩K在G中z-置换嵌入;

(6)假设H在G中z-置换嵌入.如果K◁G,那么 H∩K 在K中z∩K-置换嵌入.

证明:(1)参见文献[6].

(2)对于任意p∈π(H),设 P1是 H 的Sylow p-子群.如果 H在G中z-置换嵌入,则存在 G的z-置换子群子U,使得P1也是U的Sylow p-子群,则对于任意Q∈z,U与Q可换,又因为K在G中置换,所以K与Q也可换,从而UKQ=UQK=QUK.由Q的任意性,那么UK在G中z-置换.因此要证明(2)只需证明HK的某个Sylow p-子群也是UK 的Sylow p-子群.设 P是HK 的Sylow p-子群,使 P1⊆P,又设 K 的Sylow p-子群P2包含在P中,那么是一个 p′-数,故 P=P1P2,同理是一个p′-数,故P是UK的Sylow p-子群.(2)成立.

(3)可由(2)和(4)推得.

(4)必要性:由于 H在G中z-置换嵌入,对于任意p∈π(H),H的Sylow p-子群P也是G的某个z-置换子群U的一个Sylow p-子群.对于任意Q∈z有UQ=QU,又由于U≤G,K◁G有(UK/K)(QK/K)=UQK/K=QUK/K=(QK/K)(UK/K),因此 UK/K在G/K中zK/K-置换.设 L/K是H/K的任意Sylow p-子群,则L=PK,其中P是L的Sylowp-子群,进而也是H的Sylow p-子群,从而 L/K=PK/K是UK/K的Sylow p-子群.

充分性:由于H/K在G/K中zK/K-置换嵌入,对于任意的p∈π(H/K),H/K的Sylow p-子群L/K是G/K的zK/K-置换子群U/K 的一个Sylow p-子群,对于任意 QK/K∈zK/K,有(U/K)(QK/K)=(QK/K)(U/K),从而 UQ=(UK)Q=U(QK)=(QK)U=QU,即 U 在G 中z-置换,设P是H 的任意Sylow p-子群,则PK/K 是H/K的Sylow p-子群,也是 U/K 的Sylowp-子群,取 L=PK,则P也是L的Sylow p-子群,所以为一个p′-数,也为一个p′-数,故 P 为U 的Sylow p-子群.

(5)对于任意p∈π(H),设 G的z-置换子群U的Sylow p-子群也是H 的Sylow p-子群,那么对于任意的 Q∈z有UQ=QU,只要证明U∩K在G中z-置换,就要证明对于任意Q∈z,(U∩K)Q=UQ∩KQ,显然(U∩K)Q⊆UQ∩KQ=(U∩KQ)Q,因为且是一个q-数,其中 q是的素因子,故是一个q-数.但是 Q是G的Sylow q-子群,所以一定是一个q′-数,因此,所以(U∩K)Q=UQ∩KQ是G的子群,因此U∩K在G中z-置换.

设P是H和U的Sylow p-子群,那么P∩K=P∩U∩K是U∩K的Sylow p-子群,由于U∩K在U中正规.同样的,有P∩K也是H∩K的Sylow p-子群,这也说明了H∩K在G中z-置换嵌入.

(6)假设K◁G,H1=H∩K.由(5),H1在G中z-置换嵌入,对于任意的 p∈π(H1),设 G的z-置换子群U的Sylow p-子群也是H1的Sylow p-子群,由(4),可以假设 U⊆K.对于任意的 Q∈z有UQ=QU 因此U(Q∩K)=UQ∩K=(Q∩K)U.所以U在K中z∩K-置换,所以H1=H∩K在K中z∩K-置换嵌入.

引理2 设N,L是群G的正规子群.设P/L是NL/L的Sylow p-子群,M/L是P/L的一个极大子群,如果Pp是P∩N的一个Sylow p-子群,那么Pp是N的一个Sylow p-子群,那么D=M∩N∩Pp是Pp的一个极大子群且M=LD.

2 主要结论

定理1 设z是群G的Sylow子群的完全集,N是G的p-可解正规子群,G/N是p-超可解的,设 Gp是G的一个Sylow p-子群,如果Gp∩N的极大子群是G的z-置换嵌入子群,那么G是p-超可解的.

证明:假设结论不成立,并设G为极小阶反例.通过以下步骤完成证明:

(1)设R为G的任一极小正规子群,则G/R为p-超可解的.

设R为G的极小正规子群,由于z是群G的Sylow子群的完全集,由引理1(1),zR/R是G/R的Sylow子群的完全集,又因为N是G的p-可解正规子群,NR/R≅N/N∩R可解,显然NR◁G,因此NR/R为G/R的可解正规子群.设(Gp∩N)R/R是NR/R的一个Sylow p-子群,M/R为(Gp∩N)R/R的一个极大子群,由引理2,L=M∩N∩Gp是Gp∩N的一个极大子群,且 M=LR,由定理条件 L在G中z-置换嵌入,由引理1(3),M/R=LR/R在G/R中是zR/R-置换嵌入的.因此 G/R满足定理条件.由 G的极小性知G/R p-超可解.

(2)G有唯一极小正规子群R.

如果G有两个不同的极小正规子群R1和R2,由(1)知,G/R1和G/R2都是p-超可解.由于p-超可解群的群类是次直积闭的,所以G≅G/R1∩R2为 p-超可解.矛盾于G的选择,因此G有唯一的极小正规子群R.

(3)Φ(G)=1

若Φ(G)≠1,则由(1)知 G/Φ(G)是 p-超可解.由于 p-超可解的群系是一个饱和群系,因此则G也是p-超可解的,与假设矛盾.故 Φ(G)=1.

G的唯一极小正规子群R为交换p-群且G=[R]M,其中 M为G的某个极大子群.

由(2)知 R必含于N,从而是 p-超可解的.R 的极小性表明R为交换p-群或p′-群,若 R为p′-群,则由 G/R p-超可解群.由(3)R⊄Φ(G)=1,故存在 G的一个极大子群M,使得 R⊄M.因此G=RM,由于 R∩M◁M且R交换,R∩M◁RM=G.由R的极小性,R∩M=1或R.但 R∩M=R有R⊆M,矛盾.因此 R∩M=1.(4)得证.

(5)R=CG(R)

设 H=CG(R)∩M,则 H◁M.由 R⊆CG(H)⊆NG(H),RM=G⊆NG(H),故 H◁G,所以 R⊆H或H=1.由于 H⊆M,故 R⊄H,因此 H=1,CG(R)=CG(R)∩RM=HR=R,所以 R=CG(R).

(6)最后矛盾

由于R为G的唯一极小正规子群,所以R⊆N,又M为G的极大子群,则(Gp∩M∩N)R=(Gp∩N∩M)R=(Gp∩N)∩MR=Gp∩N,因此 Gp∩M∩N ＜Gp∩N 且Gp∩M＜Gp,取 P2⊇Gp∩M 且P2是 Gp的极大子群,则Gp=RP2,R⊄P2.因为 N◁G,R⊄P2,所以P2∩N=P1是Gp∩N的极大子群.由定理条件P1在 G中z-置换嵌入,因此存在G的子群H,使得P1是H的Sylow p-子群且H在G中z-置换.对于任意的Q∈z,有HQ=QH≤G,设 Q 为p′-群,则 R∩HQ=R ∩H=R ∩P1◁HQ,所以为p-数.由于 R∩P1=R∩P2∩N◁Gp,所以 R∩P◁Gp,故为 p′-数 ,所以 G=NG(R ∩P1),即 R ∩P1◁G.由R的极小性R∩P1=1或R.若 R∩P1=R则R⊆P1⊆P2.所以 Gp=RP2=P2,矛盾.所以R⊄P1,于是R∩P1=1从而所以 R循环.由于 R循环,G/R p-超可解,所以G为p-超可解群与G的选择矛盾.这是最后一个矛盾,因此定理成立.

推论1 设G为p-可解群,z是群G的Sylow子群的一个完全集.又设 Gp是G的一个Sylow p-子群,如果Gp∩N的极大子群是G的z-置换嵌入子群,那么G是p-超可解的.

推论2 设群G的导群G′是p-可解的,z是群G的Sylow子群的完全集Gp是G的一个Sylow p-子群,如果Gp∩G′的极大子群是G的z-置换嵌入子群,那么G是p-超可解的.

推论3 设z是群G的Sylow子群的完全集,p为G的阶极小素因子,N是G的p-可解正规子群,G/N是p-幂零的,设 Gp是G的一个Sylow p-子群,如果 Gp∩N的极大子群是G的z-置换嵌入子群,那么G是p-幂零的.

推论4 设z是群G的Sylow子群的完全集,N是G的可解正规子群,G/N是超可解的,如果z∩N中所有子群的极大子群是G的z-置换嵌入子群,那么G是p-超可解的.

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