追溯三角函数的演变

史苗伟

“三角学”一词，是由希腊文三角学与测量两词构成的，原意是三角学的测量，也就是解三角学.后来范围逐渐扩大，称为研究三角函数及其应用的一个数学分支.

三角测量在我国出现得很早.据《史记·夏本记》记载，早在公元前2000年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地势的测量.《周髀算经》讲得更详细.后来《九章算术》勾股章，专列了八个测量问题，详细介绍了利用直角三角形的相似原理，进行测量的方法.后来的《海岛算经》等都是进行三角测量的记载史料.可见我国对三角学研究开始得很早.

在三角学的基本函数中，最早开始独立研究的是正弦函数.正弦概念的形成是从造弦表开始的.公元前2世纪古希腊天文学家希帕克为了天文观察的需要，着手造表工作.这些成果是从托勒密的遗著《天文集》中得到的.托勒密第一个采用了巴比伦人的60进位制，把圆周分为360等份，但他并没给出“度”“分”“秒”的名词，而是用“第一小分”“第二小分”等字样进行描述.在1570年曲卡拉木起用了“°”的符号来表示“度”，以及“分”“秒”等名称．书中又给出了“托勒密定理”来推算弦、弧及圆心角的关系及公式.

第一张正弦表由印度的数学家阿耶波多（约476－550年）造出来的.虽然他直接接触了正弦，但他并没有给出名称.他称连接圆弧两端的直线为“弓弦”，后来印度著作被译成阿拉伯文.12世纪，当阿拉伯文被译成拉丁文时，这个字被译成sinus，这就是“正弦”这一术语的来历.1631年邓玉函与汤若望等人编《大测》一书，将sinus译成“正半弦”，简称为正弦，这是我国“正弦”这一术语的由来.

早期人们把与已知角α相加成90°角的正弦，叫做α的附加正弦，它的拉丁文简写为sinusco或cosinus，后来便缩写成cos.

公元八世纪阿拉伯的天文学家和数学家阿尔·巴坦尼，为了测量太阳的仰角，分别在地上和墙上各放置一直立与水平的杆子，求阴影长b，以测定太阳的仰角α.阴影长b的拉丁文译文名叫“直阴影”，水平插在墙上的杆的影长叫做“反阴影”，“直阴影”后来变成余切，“反阴影”叫做正切.

大约半个世纪后，另一位中亚天文学家、数学家阿布尔·威发计算了每隔10°的正弦和正切表，并首次引进了正割与余割（这部分知识高中继续学习）.