高等数学知识在初等数学中的应用

　　高等数学知识在初等数学问题中的应用具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.但解决的知识是中学所学习的初等数学知识，它对学生的数学语言信息的阅读、收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高，是考查数学创新能力的有效手段，是模式化训练“题海战术”所达不到的.此类问题对培养学生独立发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有很大的帮助.下面，笔者就对此类问题进行归类、例析，以期广大专家、同行对此类问题进行更深入的研究.
　　一、知识背景的应用
　　例1：已知函数，当f（x）=tanx，x∈（0，），x，x∈（0，），且x≠x，证明[f（x）+f（x）]>f（）.
　　分析：本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景，以三角函数为知识载体，通过对正切函数和不等式的引入，使函数的凹凸性的性质得以充分体现.
　　证明：因为x，x∈（0，），x≠x，所以2sin（x+x）>0，cosxcosx>0，
　　且0　　由此得tanx+tanx>，即>tan（），
　　所以[f（x）+f（x）]>（）.
　　例2：设a>0，实数x，y，z满足x+y+z=a，x+y+z=.求证0≤x，y，z≤.
　　分析：本题的知识背景是高等数学中的空间解析几何问题，x+y+z=a表示过三点（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示与坐标原点距离为的点（x，y，z）应满足的条件，即以O为圆心，为半径的球.如把已知方程中的z视为已知数，将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆，构造一个直线和圆有公共点得图形，初等方法就可以解决了.
　　证明：将已知两方程分别化简为x+y=a-z，x+y=-z.因为此两式同时成立，所以在平面直角坐标系中，直线x+y=a-z和圆x+y=-z有公共点（即相交或相切），于是圆心（0，0）到直线x+y=a-z的距离不超过半径即≤，将该式化简得3z-2az≤0，即z（3z-2a）≤0，解得0≤z≤.
　　同理可证0≤x≤，0≤y≤，所以0≤x，y，z≤.
　　二、语言叙述的应用
　　例3：设绝对值小于1的全体实数的集合为S.在S中定义一种运算*，使得a*b=.
　　（1）证明：若a，b∈S，则a*b∈S；
　　（2）证明：结合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.
　　分析：本题是以高等数学语言习惯定义一种新运算，并将集合语言融入，来让学生证明结合率，使得问题变得新颖，有创意，能力要求较高.
　　解：（1）要证明，若a，b∈S，则a*b∈S，即证明：当-1　　（2）两次用条件中的公式a*b=分别得：
　　（a*b）*c=*c==
　　a*（b*c）=a*==
　　所以有（a*b）*c=a*（b*c）.
　　三、推理方法的应用
　　例4：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则？摇？摇？摇 ？摇.”
　　分析：此题主要是考查对勾股定理的实质性类比，类比是高等数学中最为基本的推理方法，从类比推理的方法和规律来看，应将由线段长度到三角形面积的升维类比，过渡到由指数的二次向指数的三次转变，可得结论是S+S+S = S，但恰恰相反，此结果是错误的.特别的，直三棱锥A-BCD的三条直棱AB、AC、AD的长度均为1，显然有S=S=S=，S=，而（）+（）+（）≠（），但（）+（）+（）=（），所以有S+S+S = S.对于得到S+S+S=S这个结果的学生来说，不是因为他们的类比推理能力差，而是其在推理过程中缺少检验和修正的环