H—矩阵的预条件AOR迭代法收敛性

　　摘 要： 近年来，许多预条件子被运用于线性系统.讨论了新的多参数一般下三角预条件子的AOR迭代法的收敛性.当线性系统的系数矩阵为H-矩阵时，得到了该预条件子下的AOR迭代法的收敛性定理.
　　关键词： AOR迭代法 预条件子 H-矩阵 收敛性
　　1.引言
　　考虑线性系统Ax=b，其中A=（a）∈R，b∈R是已知的，x∈R是未知的.
　　不失一般性，令A=I-L-U，其中I是单位矩阵，-L和-U分别是A的严格下三角部分和严格下三角部分.考虑预条件线性系统PAx=Pb，其中P是非奇异矩阵.
　　文献[1]考虑具有一般上三角形式的预条件子，给出当线性系统的系数矩阵为M-矩阵时预条件SOR型迭代法与经典SOR迭代法的收敛性比较定理.
　　考虑一般下三角形式的预条件子P=I+S，记D（β）=diag（1，β，β，β，…，β），β （i=2，…，n）是非负实数，S=D（β）S，m　　解决线性系统的经典AOR迭代法的迭代矩阵[2]为
　　T=（I-rL）（（1-ω）I+（ω-r）L+ωU），（1）
　　这里ω和r为实数，且ω≠0.
　　定义1.1[3] 如果一个n×n的矩阵A=（a）满足i≠j时，a≤0，称A为Z-矩阵；如果A是Z-矩阵且a>0，称A为L-矩阵；如果A是L-矩阵且A≥0，称A为M-矩阵.
　　定义1.2[4] 如果A=（a）是n×n的矩阵，称〈A〉=（）是A的比较矩阵，其中i=j时，=|a|，i≠j时，=-|a|.如果〈A〉是一个非奇异M-矩阵，则称为H-矩阵.
　　引理1.1[5] 设是Z-矩阵，则A是M-矩阵当且仅当存在正向量u=（u，…，u）>0，使得Au>0.
　　引理1.2[6] 令A是H-矩阵，则ρ（T）<1.
　　2.主要结论
　　令D，-L，-U分别是A的对角部分﹑严格下三角部分和严格下三角部分，则
　　A=（I+S）A=D-L-U.（2）
　　对应的预条件AOR迭代法的迭代矩阵为
　　=（D-γL）[（1-ω）D+（ω-γ）L+ωU].（3）
　　定理2.1 令A是对角元为1的H-矩阵，a≠0（i=2，…，n），则
　　β′=1+>1，i=2，…，n
　　证明：因为A是H-矩阵，由定义1.2知〈A〉是非奇异M-矩阵，且〈A〉=I-|L|-|U|≤I，得〈A〉≥I≥0，即||〈A〉||≥1，则β′>1，i=2，…，n.
　　定理2.2 令A是对角元为1的H-矩阵，是（5）中给出的迭代矩阵，a≠0（i=2，…，n），0≤β≤β′，0≤γ≤ω≤1，ω≠0，则A是H-矩阵，且ρ（）<1.
　　证明：记A=（），当i=1时，=a；当i=2，…，n时，=a-βaa.令r=〈A〉e，其中e=（1，1，…，1）.因A是H-矩阵，由定义1.1和1.2得r≥0，〈A〉r=〈A〉〈A〉e=e，记r=（r，r，…，r），由文献中的引理3.1得（〈A〉r）=r-|a|r=1>0，则（〈A〉r）=r-|a|r=1>0.令（〈A〉r）（i=2，…，n）是向量〈A〉r的第i个元素，则
　　（〈A〉r）=|1-βaa|r-|a-βaa|r
　　≥r-β|aa|r-|1-β||ar|-|a|r-β|aa|r
　　=（〈A〉r）+|a|r-β|a|[-（〈A〉r）m+r]-|1-β||a|r
　　=1+β|a|+[（1-β）-|1-β|]|a|r
　　当0≤β≤1（i=2，…，n）时，有（〈A〉r）≥1+β|a|>0.
　　当1<β<β′（i=2，…，n）时，有
　　（〈A〉r）≥1+β|a|+[（1-β）-|1-β|]|a|r
　　=1+β|a|+[（1-β）-|β-1|]|a|r=1-|a|r-β|a|（2r-1）
　　>1+2|a|r-（1+）|a|（2r-1）
　　≥（1+|a|）-（2||〈A〉||-1）|a|
　　=（1+|a|）-（1+|a|）=0
　　因此〈A〉r>0.由引理1.1知〈A〉是非奇异M-矩阵，因此A是H-矩阵，由引理1.2得ρ（）<1.
　　参考文献：
　　[1]蒋小凤，袁东锦，孙霞，李凯.预条件SOR迭代法的收敛性[J].江南大学学报（自然科学版），2010，9（3）：339-342.
　　[2]A.Hadjimos.Accelerated overrelaxation method[M].Math.Comp，1978，3：149-157.
　　[3]D.M.Yong.Iterative solution of large linear systems[M]Academic Press，New York，1971.
　　[4]R.S.Varga.Matrix Iterative Analysis[M].Prentice-Hall，Englewood Cliffs，NJ，1981.
　　[5]K.Y.Fan.Topological proofs for certain theorems on matrices with non-negative elements[M].Monatsh.Math，1958，62：219-237.
　　[6]Yao-Tang Li，Shun-feng Yang.A multi-parameters preconditioned AOR iterative method for linear systems[J].Applied Mathematics and Computation，2008，206：465-473.
　　[7]Wu Mei-jun，Wang Li，Song Yong-zhong.Preconditioned AOR iterative method for linear systems[J].Applied Numerical Mathematics，2007，57（5-7）：672-685.
　　基金项目：2011年衡水学院科学研究项目（201102