构造法证明不等式的构造途径

摘 要： 作为数学思想方法之一， 构造思想已经渗透到数学的各个分支中. 本文从数学方法论的角度， 通过分析不等式的证明思路， 对其中所蕴涵的构造思想进行了分析和探讨.

关键词： 构造法 不等式 解题途径

什么是构造法，又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真考察和深入思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决的一种数学思想方法.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以问题的特殊行为基础，针对集体的问题特点而采取相应的解决办法。其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，就可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己的思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有帮助.下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.

证明不等式的方法有很多，构造法就是其中的一种，其实只是将不等式进行等价转化，它以构造方程、数列、图形作为常用手段.

1.构造方程

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.

∴不等式成立

②tanγ-tanα≠0

当x=-1时

（85b+pF8tIUzFzoRXh+eyE6wvKwxVEUwjmIY0cSBlYkg=tanγ-tanα）+2（tanα-tanβ）+（2tanβ-tanγ）=0

∴x=-1是方程（*）的根

2.构造数列

数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位.不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常灵活.

3.构造图形

在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往能使解题方法简捷.在证明不等式中，我们把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形的几何量，构造出一个符合条件的几何图形，便可应用图形性质及相应的几何知识证明不等式.

所以不等式成立.

4.构造函数

函数在中学数学中占有相当重要的地位，学生对于函数的性质也比较熟悉.选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性.有些不等式的证明，也可以构造函数模型，利用函数性质来解决，往往要比常规的方法容易找到证题途径.

分析：本题可以用比较法、分析法等多种方法证明.若采用函数思想，构造出与所证不等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证明，则思路更为清晰.

5.构造平面向量

平面向量具有数和形的双重性，因此用构造平面向量的方法在证明不等式有时能给你一个意想不到的“惊喜”.

在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是运用平面向量解题的简便方法.

通过上面的例子，我们知道在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规，大胆去探求解题的最佳途径.创新思想是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构，以及活跃的灵感是其基本特征.这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识，并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活，从而培养学生的创新思维.

参考文献：

〔1〕梁法驯.数学解题方法[M].华中理工大学出版社，1995：244-263.

〔2〕张传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2005：127-130，291.