导数应用在高考中的两类存在性问题

导数在新课程高考中的地位愈发重要，考查的形式多种多样，切线及函数极值的存在性问题是2009年高考的一大亮点.命题者利用导数这一个重要的解题工具将函数与方程有机地结合在一起，并由此考查导数的几何意义及导数在函数中的应用问题，这两种类型不可能就此销声匿迹，还将会在今后的高考舞台上继续发挥作用.本文给出2009年这样的几个高考题的解答，希望读者能体会其中的解题策略与思想方法.

一、曲线切线的存在性问题

曲线切线是否存在的问题，与导数的几何意义密切相关，常转化为导数方程是否有实根来判断.

例1.（2009福建卷理15）若曲线f（x）=az+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

解析：函数的定义域为（0，+∞），对函数求导得：f′（x）=3ax+.因为曲线存在垂直于y轴的切线，即切线斜率为0，所以方程3ax+=0在（0，+∞）内有解，显然可得a=-<0，故a∈（-∞，0）.

注：2009年福建卷文科的第15题是其姐妹题.

例2.（2009重庆卷文19）已知f（x）=x+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）.（Ⅰ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间.

解析：（Ⅰ）∵f（x）=x+bx+c为偶函数，∴f（-x）=f（x），解得b=0，∴f（x）=x+c，又曲线y=f（x）过点（2，5），∴2+c=5，即c=1，∴g（x）=x+ax+x+a，求导得g′（x）=3x+2ax+1，∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，∴g′（x）=3x+2ax+1=0有实数解.∴△=4a-12≥0，解得：a≤-或a≥.所以实数a的取值范围：a∈（-∞，-]∪[，+∞）.（Ⅱ）略.

二、函数极值的存在性问题

函数极值是否存在与导数方程f′（x）=0的根密切相关，若函数y=f（x）在某一点处取得极值，则这一点必是导数方程的根，但反过来，导数方程的根处未必存在极值.为此，求解导数方程的根后，常需要进行验证才能确定函数是否存在极值.

例4.（2009山东卷文21）已知函数f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0.（Ⅰ）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（Ⅱ）已知a>0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围.

解析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得极值，方程ax+2bx+1=0（a≠0）有解，所以△=4b-4a≥0，即b≥a.

①当b=a时，f（x）=bx+2bx+1=（bx+1）≥0，f（x）在R上单调递增，故函数f（x）无极值.

②当b>a时，此时方程ax+2bx+1=0的根为

x==，x==，所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.

当a>0时，

所以f（x）在x，x处分别取得极大值和极小值.

当a<0时，

所以f（x）在x，x处分别取得极大值和极小值.

综上，当a，b满足b>a时，f（x）取得极值.（Ⅱ）略.

例5.（2009四川卷文20）已知函数f（x）=x+2bx+cx-2的图像在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值.

解析：（Ⅰ）函数解析式为f（x）=x-2x+x-2，过程略；

（Ⅱ）g（x）=x-2x+x-2+mx，g′（x）=3x-4x+1+，令g′（x）=0当函数有极值时，方程3x-4x+1+=0有实根，即△=4（1-m）≥0，解得m≤1，

①当m=1时，g′（x）=（3x-2）≥0，∴g（x）在R上是增函数，故函数g（x）无极值.

②m<1时，g′（x）=0有两个不相等实根，x=（2-），x=（2+），

当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值，当x=（2-）时，g（x）有极大值；当x=（2+）时，g（x）有极大值.

注：2009年四川高考数学理科卷第21题的第（Ⅲ）小题也属于此种类型.

例4.（2010全国卷Ⅱ文21）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1.（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）对函数求导得：f′（x）=3x-6ax+3=3（x-2ax+1），由于f（x）在（2，3）中至少有一个极值点，因此方程f′（x）=0在区间（2，3）内有根.

∴△=4a-4>02<-<3f′（2）=3（5-4a）>0f′（3）=3（10-6a）>0或f′（2）f′（3）<0，解得：

注：导数方程f′（x）=0程为二次方程时，其在某个区间内的解的问题，常借助一元二次方程根的分布来处理.

从以上各例不难看出，导数应用中的这两类存在性问题与导数方程息息相关，处理好导数方程的解的情况，问题也随之得到解决.