圈图工具与紫外发散

乔庆鹏，张向丹

(1.河南教育学院物理系，河南郑州 450046;2.新乡学院物理系，河南新乡 453003)

圈图工具与紫外发散

乔庆鹏1，张向丹2

(1.河南教育学院物理系，河南郑州 450046;2.新乡学院物理系，河南新乡 453003)

LoopTools(圈图工具)是粒子物理中用来进行单圈图积分的工具，它大大简化了单圈图的计算，但另一方面，圈图计算中的紫外发散在计算过程中需要使用者进行额外的检测.这里对这一部分做了简单的介绍并给出了相应例子.

圈图工具;紫外发散;单圈图

随着实验条件的不断改善和实验精度的不断提高，在粒子物理的唯象研究中，树图水平(领头阶)的计算已经不能满足理论研究及实验的要求，因此圈图层次(高阶)的计算就显得愈发必要.

具体物理相关过程的跃迁几率振幅(又称为散射矩阵)的计算是建立在微扰论基础之上的，根据费曼规则进行逐阶的计算.从第二阶开始，出现了单圈图，在具体的运算过程中，需要对其中的某个(或某几个)独立的动量来进行积分运算.但是圈图积分的过程中会出现相当复杂的费曼参数积分，一般可以表示为

其中，分母中出现的动量ki和外腿的动量pi之间的关系可表示为

图1 具有普适性的单圈费曼图示意图Fig.1 The one-loop Feynman diagram of the universal formation

与(1)式对应的费曼图可以表示为图1.

具有(1)式的张量结构的积分可以被分解成具有特定洛仑兹协变张量的组合［1］，而这些张量可以由矩阵张量gμν和线性独立的动量来表示.另外，对圈内动量积分的过程中不可避免地会出现紫外发散.本文将分别介绍这两个部分在LoopTools中是如何处理的.

1 LoopTools简介

LoopTools是由Thomas Hahn在FF软件包的基础之上开发完成的，主要用于数值计算粒子物理单圈图的费曼参数积分，该软件可以从网站下载获得［2］，最新版本为2.7，需要安装运行在Linux系统下，并和C、Fortran以及Mathematica保持兼容.LoopTools程序包以tar压缩包的形式提供，安装的步骤可以参看程序自带的makefile文件说明，解压后运行make命令编译即可完成安装.

LoopTools的具体操作方法可以参考文献［2］，其正确性已经由文献［3］所证明，这里不再详细讨论.

在LoopTools之前，人们为能高效地处理高阶效应而引入了多变量积分函数，对应于一点、二点、三点(三角图)和四点(箱图)的格林函数分别称之为A、B、C和D函数.但是传统的方法还是有一些缺陷，譬如:C、D函数在数值积分时往往会遇到赝奇点结构，从而导致计算结果的不稳定性以及误差缺陷等，并且传统的处理方法无法处理五点格林函数，而最新版的LoopTools则完美地解决了以上问题.

LoopTools提供的并不是张量积分本身，而是这些洛仑兹协变张量的系数.它的表达形式可以由gμν以及内线动量ki来构成.在此前提下，张量系数的函数在指标上是呈现整体对称的.我们下面罗列出四点以下函数的具体的分解形式

在上面所有的标量和张量系数的函数中，只有A0，B0，B1，B00，B11，C00，C001，C002和D0000是包含有紫外发散的.我们在第2节中详细讨论这个问题.

2 紫外发散项及其处理

在实际的计算过程中，知道张量积分的紫外发散部分的具体形式是非常有用的.在D－4维下，A0，B0，B1，B00，B11，C00，C001，C002和D0000的紫外发散部分可以分别写作

在MS(最小减除)正规化方案下，令D=4－2ε，即D－4=－2ε，这里的ε为一个无限小的常数，则A0包含的紫外发散部分可以写为m2/ε，其他各项类似，只需要在等式右边进行D－4=－2ε代替即可得到各自对应的紫外发散部分的具体形式.

下面我们结合一个具体的例子来说明LoopTools中的紫外发散项的处理和检验.

在TC2模型下(图2)，我们对gg→h0t按照LoopTools的约定进行了有效顶点化简(图2)，化简后的形式为

这里，与紫外发散有关的项为

图2 TC2模型下gg→过程的单圈费曼图Fig.2 The Feynman diagram of the one-loop process gg→in the TC2 model

3 结论

LoopTools的出现，在一定程度上避免了跃迁矩阵的奇点的影响，使用计算机程序来进行高阶计算变为可能，并且它的最新版本可以用来进行五点格林函数的计算，这是一个具有相当意义的进步.本文对LoopTools进行了简单的介绍，并且结合例子对紫外发散在其中的处理进行了讲解，具有一定的实用价值，期待本文对粒子物理领域的初学者以及爱好者提供一定的帮助和指导.

［1］ DENNER A.Techniques for calculation of electroweak radioactive corrections at the one loop level and results for W physics at LEP－200［J］.Protein Science，1993，41(4):307－420.

［2］ THOMAS H.LoopTools 2.7 User’s Guide［EB/OL］.2011－07－29［2011－08－20］.http://www.feynarts.de/looptools.

［3］ 李佟，赵树民.多点格林函数数值积分(费曼参数积分)的程序分析及应用［J］.南开大学学报:自然科学版，2004，37(4):75－79.

LoopTools and Ultraviolet Divergence

QIAO Qing-peng1，ZHANG Xiang-dan2

(1.Department of Physics，Henan Institute of Education，Zhengzhou450046，China; 2.Department of Physics，Xinxiang College，Xinxiang453003，China)

LoopTools is a one-loop diagram integral tool in particle physics，which greatly simplifies the calculation of the one-loop diagram.On the other hand，the ultraviolet divergence in the calculation process needs additional checks by users.A brief introduction on these parts is given and corresponding examples are shown.

LoopTools;ultraviolet divergence;one-loop diagram

O572.11

A

1007－0834(2012)01－0005－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.002

2011－12－18

国家自然科学青年基金项目(11102060);河南教育学院理论物理重点学科资助项目

乔庆鹏(1979—)，男，河南新乡人，河南教育学院物理系讲师，理学博士，主要研究方向:高能物理与宇宙学.