几何分布的几个性质

何朝兵，袁德强

（安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000）

几何分布的几个性质

何朝兵，袁德强

（安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000）

证明了几何分布的顺序统计量的一些性质，有的性质与指数分布相对应的性质有区别但又相似.

几何分布；顺序统计量；性质；指数分布性

几何分布已经应用到越来越多的领域中，特别是在信息工程，电子工程，控制论以及经济学等领域中都占有极其重要的地位.Ferguson[1]在1067年首次提出用顺序统计量来刻划几何分布的特征，文献[2-11]对此又作了进一步的分析研究.指数分布在可靠性统计推断中有着十分重要的地位，具有许多重要性质[12-15].虽然几何分布和指数分布都具有“无记忆性”，但由于它们的个性差异，导致两者差别很大.本文给出并证明了几何分布的顺序统计量的一些性质，有的性质与指数分布有区别但又相似.

1 预备知识

定义1如果随机变量X的分布律为P(X =k)=pqk-1,k=1,2,3,…;0＜p＜1,q=1-p,则称X服从参数为p的几何分布，记为X～Geo（p）.

一般教材给出的顺序统计量的定义，对研究连续型分布很方便，但对研究离散型却很麻烦，所以下面针对离散型随机变量，给出其顺序统计量的定义.

定义2设X1,X2,…,Xn独立同分布于一离散型分布.把X1,X2,…,Xn的取值按从小到大排列，取值相同的归为一组，第i(1 ≤i≤n )组的取值记为X(i)，称 X(i)为 X1,X2,…,Xn的第i个顺序统计量.

2 主要结论

假设X1,X2,…,Xn独立同分布于几何分布Geo（p）.X1,X2,…,Xn中取值 X(i)的个数记为Yi，令Di=X(i)-X(i-1),i=1,2,…,n，约定 X(0)=0.在对产品进行寿命分析时，与指数分布相比，几何分布没有定数截尾寿命试验，相对应的应该是定组截尾寿命试验，即当观察到r组不同的失效数据时停止试验.为了准确起见，我们称之为定组截尾寿命试验.本文证明如下几个命题：

命题1在Y1=m1,…,Yr=mr的条件下，D1,D2,…,Dr相互独立，且

命题2X(1)与(Y1,Y2,…,Yr)相互独立.

3 结论的证明

命题3和命题4所描述的几何分布的性质与指数分布是一样的.

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Several Properties of Geometric Distribution

HE Chaobing，YUAN Deqiang
（School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University，Anyang455000，China）

This paper obtains and proves some properties of order statistics of geometric distribution,certain properties are different from and also similar to corresponding properties of exponential distribution.

geometric distribution；order statistics；property；exponential distribution

O 211.3；O 212.2

A

1674-4942（2012）01-0020-04

2011-10-03

河南省教育厅自然科学基金资助项目（2009B110003）

毕和平