具有矩阵伸缩的高维正交周期小波包

毛一波

(重庆文理学院数学与统计学院，重庆 永川 402160)

1 引言及预备知识

由于小波包能够解决单一正交小波基的频域局部化较差的问题而成为小波分析的研究热点，它在信号处理、图象压缩、编码理论、通信工程等方面有诸多应用[1-2].Coifman等首先引入了一元正交小波包的概念[3]，文献[4]则将实直线上的小波包推广到正交周期小波包，建立了其理论框架并研究了其性质.为了把小波方法应用到数字图像处理中，许多研究者把精力集中到高维小波滤波器的构造上，最简单通用的构造方法是一维小波滤波器的张量积的形式，但这种构造对处理二维图像中的水平和垂直方向的信息是困难的.在最近十几年里，不可分小波滤波器的构造引起了相当多人的注意[5-6].崔丽鸿等[7]研究了高维不可分正交多小波包，邱进凌等[8]给出了一类扩展矩阵伸缩的紧支撑多元向量值双正交小波包的构造并讨论了它们的性质.本文中在上述理论的基础上将小波包进行推广，引入对应于高维正交周期尺度函数的小波包，给出具有任意矩阵伸缩的高维不可分正交周期小波包的构造方法，并对其性质进行了研究，得到高维正交周期小波包的分解公式及其Fourier变换表示.

为行文方便，全文约定以下记号：d为正整数，Zd={(z1，…，zd)|zj为整数，1≤j≤d}为d维整数集，Z+为非负整数集，A为d×d伸缩矩阵，即它的元素是整数，且它的所有特征值的模大于1，约定|detA|=a，a>1为正整数.对k∈Z+，Ωk表示Zd/AkZd的不同代表元所组成的集合.考虑周期为Zd的空间

2 矩阵伸缩的高维周期多分辨分析

(1)

(2)

(3)

成立(l∈Ωj).

命题2.1的证明当λ=λ′=0时，因为{φj(t-A-jl)，l∈Ωj} 为Vj空间的标准正交基，所以

δ(0，l)=<φj(·)，φj(·-A-jl)>=

对λ，λ′不全为0时，利用尺度函数和小波函数的正交性可类似进行证明，兹从略.

3 具有矩阵伸缩的高维正交周期小波包

定义3.1记

(4)

(5)

由定义可以看出，当d=1及a=2时，上述定义的小波包即为文献[4]中的周期小波包.

4 主要结果

推论4.2

m0=am1+λ1，m1=am2+λ2，…，mr-1=amr+λr，…，

(6)

5 例子

6 结论

在引入对应于高维正交周期尺度函数的小波包的基础上，给出了具有任意矩阵伸缩的高维不可分正交周期小波包的构造方法.通过具有矩阵伸缩的高维周期小波包的构造，可以期望对高维正交周期小波子空间Wj进行正交分解，最终可以分解为(a-1)aj个一维小波子空间的正交直和.通过对高维正交周期尺度函数的小波包的性质进行研究，得到了高维正交周期小波包的分解公式及其Fourier变换表示，对一元正交周期小波包的结果进行了推广.

[1] 田秀荣．基于正交小波包分解的语音去噪增强[J].计算机仿真，2011(5)：388-390.

[2] 郭业才，纪娟娟．基于正交小波包变换的变步长双模式盲均衡算法[J].系统仿真学报，2011(2)：335-338.

[3] Coifman R， Meyer Y， Wickerhauser M V．Size properties of wavelet packets[C]//Ruskai M B et al. (Eds). Wavelets and Their Applications,New York:Academic Press，1992：153-178.

[4] 毛一波．正交周期小波包[J].湖北大学学报：自然科学版，2011(1)：22-24.

[5] 黄永东，杨淼．具有特殊伸缩矩阵的三元不可分小波的构造[J].应用数学学报，2010(2)：247-261.

[6] 刘斌，彭嘉雄．基于非下采样三通道不可分对称小波的多光谱图像融合[J].电子学报，2011(5)：1094-1099.

[7] 崔丽鸿，程正兴．高维不可分正交多小波包[J].西安交通大学学报，2003,37(8)：873-875.

[8] 邱进凌，王慧，方勤华．扩展矩阵伸缩的多元向量值双正交小波包[J].江西师范大学学报：自然科学版，2007(5)：450-453.

[9] 杨淼，黄永东，程正兴．具有特殊伸缩矩阵的三元不可分正交小波的构造[J].数学的实践与认识，2011(4)：129-138.

[10] 彭思龙，李登峰，谌秋辉．周期小波理论及其应用[M].北京：科学出版社，2003.