新课程视域下的有效数学教学探析

任全红

（绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川 绵阳 621000）

一、概述

数学新课程标准的一个显著特点是反复强调数学教学要重视揭示获取知识和运用知识的思维过程。在此过程中，使学生获得对数学的理解，并在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。高中数学新课程标准中“过程与方法”目标，强调以下六个思想的深入探究：函数与方程的思想、数与形结合的思想、分类与整合的思想、特殊与一般的思想、或然与必然的思想、化归与转化的思想，这是对数学思维过程目标的具体化。对于数学思维的突出强调，也是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征。然而，就我国数学教育的现实而言，上述理念并未得到很好的贯彻，主要表现为：忽视概念形成的过程；忽视问题的发现以及规律的揭示过程；排斥结论的探究和推导过程。其实，数学学科自身的特点决定了数学教学就是数学思维活动的教学，要重视数学思维过程的呈现，以此作为数学课堂教学的切入点，实现有效的数学课堂教学。

有效教学并不是一个新名词，自教学诞生以来，教育者就在追求有效教学。教育的历史与实践表明：任何教育活动要想真正卓有成效，就必须建立在对学习者的充分理解和认识的基础上，树立关注学生的进步或发展、关注教学效益、关注可测性或量化的教学理念。因此，数学教学更应关注如何设计教学活动过程?如何充分揭示数学思维活动？有效地发展学生数学思维能力，形成良好思维品质和合理数学知识结构。本文将围绕着上述方面作进一步的分析研究。

二、数学教学过程的分析

教育心理学研究表明，教学从根本上来说，是一个师生双方在认知与情感两方面进行交互作用的过程。在具体教学中，数学教学过程存在以下这些特征。

其一，学生的学习过程是一个再创造的过程。学生学习数学知识主要方式是间接的书本知识和间接经验，但这种间接经验的学习对学生来说仍然是一种探索未知领域新知识的过程，这一点与数学家发现数学新规律是一致的。要使知识在学生头脑里生根，就必须把数学概念、规律、思想、方法按照原来发生、形成、发展的过程和规律再现出来，知其然还要知其所以然，充分暴露数学思维的过程，使学生真正理解所学知识。

其二，教学过程的本质是学生的认识实践过程，符合一般认识过程的规律。这其间要经历由感性认识到理性认识的飞跃，这本身就是一个抽象概括的思维过程。只有积极调动学生的思维活动，让学生自己主动地去认知，才能转化成学生头脑里的新的数学认知结构，这是教师无法替代的。教师要做的是在教学中始终注重数学思维过程的教学，把获取知识和运用知识的思维过程充分揭示、展示给学生，教会学生怎样去思考，促进学生构建新的数学认知结构。

其三，数学教学过程是三种思维活动的不断演进过程，即数学家的思维活动（体现在教材中）、数学教师的思维活动、学生的思维活动。由于数学教材编写特点，呈现的是知识的逻辑体系，隐含了知识发生、形成、发展的过程以及抽象概括的思维过程，使得教材知识结构与学生认识水平之间存在较大差异，不利于学生学习。教师在教学过程中应根据数学知识结构，指导与调控学生的思维活动，逐步发展学生数学思维能力，学会思考与学习，从而达到有效的数学教学。对此，我们作具体的分析研究，切实促进有效的数学课堂教学。

三、实现课堂有效教学的途径

（一）重视剖析知识的形成、发展过程

教学中要注重数学概念、公式、定理、法则的提出过程；解题思路的探索过程；解题方法和规律的概括过程。使学生在这些过程中展开思维，发展能力。例如，数学家希尔伯特在任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他展现的思维过程却能使学生受益匪浅。华罗庚在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是如何想出来的”一类问题。这些事例都说明了教学中充分展示数学思维过程对于培养学生思维能力的重要作用。在教学过程中，可关注以下三个方面：①怎样从实际问题中发现和提出数学问题；②怎样对实际问题和已有知识进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括；③怎样选取并综合已有的数学知识进行判断、推理、得出规律的思维过程。上述过程，恰恰就是数学家发现数学新规律的思维活动，更是当今我们要培养学生的一种独立获取新知识的学习能力，一种进行创造性思维的能力。

例如：椭圆定义的教学，可设计如下的教学环节。

（1）复习圆的定义，并用一段无弹性的绳子做几个圆心位置不同，半径不同的圆（为下一步的类比做铺垫）。

（2）设想定点由一个变为两个，且更换命题——到两定点距离和等于定值，结果会怎样?借助手中的绳子和圆规把命题叙述的这一结果表达出来。

（3）将一根绳子系在圆规的两脚下端，用粉笔套住绳子，在黑板上移动粉笔，可画出一个封闭的几何曲线，改变圆规的位置，再做出几个这样的封闭曲线。即得到新曲线——椭圆。

（4）探索绳子长度（定值）与圆规两脚末端（定点）之间距离的情况，得出结论：当定值等于两定点的距离时，轨迹为以两点为端点的线段；当定值小于两定点的距离时，轨迹不存在；当定值大于两定点的距离时，轨迹为椭圆。

这样的教学设计，着眼于从条件的类比变化探求新曲线的产生，包含了数学学习的发散性思维，也渗透了数学研究的渐变式思想，同时站在集合观点下剖析圆锥曲线是由怎样的点组成的感知。在教师的引导下，学生已经在潜移默化中经历了一个重新认识旧知，创新衍生新知的探索历程。在椭圆概念的形成过程中，引导学生积极思维，主动探索，强调学生在学习中的理解，体现了师生思维活动的同频共振过程，这一切正是充分揭示数学思维过程的自然结果。

（二）注重对数学思维过程的分析能力

首先，我们来分析解决具体数学问题时的思维过程。解决数学问题是一个不断地发现问题、分析问题，直到归结为熟知的问题为止的思维过程。心理学实践研究表明，人们在创造性解决问题的过程中，总力求逐步缩小探索的范围。思维进程往往循着基本逻辑水平，基本数学方法水平，具体方法、技巧和程序这样三个层次来推进，思维过程表现为检索、联想、想象、评价等环节。其次，分析解决一类数学问题的数学思维过程。在此层面上的思维，表现为不断地提高抽象概括的水平，不断地赋于数学方法以具体新鲜的意义，这是一个不断地聚合、发展的过程。教学中要充分地暴露数学思维活动过程，不掩盖数学思维活动的任何一个环节，这是使学生形成良好思维结构的根本保证。如果长期片面地强调某些思维环节，忽视另一些环节就会造成思维结构的缺陷，例如，目前学生的创造性思维能力不足，就是长期掩盖发现问题环节的结果。

（三）加强教学过程的合理设计

数学教材呈现出的是经过整理加工过的严密、抽象、精练的结论，在阐述数学基础知识时未能暴露数学思维过程。这种特点决定了我们的教学不能将此教材内容直接照搬到课堂上去，否则学生就无法领略到数学精湛的思维过程，这就要求教师备课时必须加强教学过程的合理设计。首先，找准知识的生长点，以此作为暴露思维过程的基础。其次，必须深入钻研、认真吃透和摸准教材，高度注重知识发生过程的分析研究，切实把握住知识系统内部的关联、差别和转化，促进知识的迁移和思维的迁移。备课时要善于挖掘客观存在的思维规律，充分呈现数学思维过程，设计出适合学生水平的教学程序，切实保证数学教学的有效。

例如，对一个不等式问题的认知分析和教学设计：

问题：设不等式mx2-2x-m+1＜0对于满足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范围。

解f（m）=（x2-1）m-2x+1，mx2-2x-m+1＜0即f（m）＜0.

又因为f（m）的图像是一条直线，因此当m∈[-2，2]时，f（m）＜0恒成立，当且仅当

分析：对多数学生的了解发现，学生对此题的解法的确不易掌握，大多停留在赏析层面。深入分析解题思路可分成三步：（1）把mx2-2x-m+1看成关于m的函数——不等式向函数的转化；（2）认识到f（m）是一次函数——将思考对象具体化、直观化；（3）得到一个关于x的一元二次不等式组，进而解得x的取值范围。学生解此题的难点是：m是一个变化的量，把x看成不变的，x与m混在一起，使得许多学生抓不住问题的本质。由此，教学过程可设计如下：

（1）设计问题，驱动学生思考，不妨从学生理解的困惑处——x与m的复杂关系入手来设计一系列问题；从突破学生思维的关键——化归法，设计问题帮助学生建立与原有知识经验的联系。

问题1：本题涉及哪几个量？相对于m的变化，你认为x应看成静止的还是运动的？为什么？

问题2：分析x的取值范围究竟是哪个条件决定的?

问题3：对于每一个确定的m值，mx2-2x-m+1的值是否唯一确定？与m是什么关系？

问题4：记f（m）：xm2-2x-m+1，尝试用函数的语言重新叙述题目的条件和目标?

（2）深入反思，促进迁移。修改和变换问题情境，切实使学生对原问题及解法重新审视和反思，引导学生领悟思维本质，避免认识上的表面化。

问题5：改题目为“不等式mx2-2x-m+1＜0对于满足-2≤x≤2的x值都成立，求m的取值范围，你认为应该如何思考？

问题6：已知函数y=f（x）在[a，b]上是单调函数，若x∈[a，b]时，f（x）＜k（或f（x）＞k，k是常数）恒成立，则如何转化？

数学从静态角度看是数学知识、定理、符号公式的汇集，枯燥乏味。若从动态角度去审视，数学是一种实际的研究活动，是数学思维活动的过程。学生的思维发展有一个初步感知，逐渐领会，再到灵活运用的过程，教师要多给学生反复实践和领悟的机会，教学中对此再费时费力也不过分。教学过程设计中，教师应注重引导学生从联系的观点看问题，用转化的手段去处理问题，即化繁为简，化陌生为熟悉，化未知为已知。注重设计问题串，一个好的数学问题，不在于它是简单还是困难，也不在于具体还是一般，而是能够引导学生进行思考，培养其一种通用的解决问题的方法。一个好的数学教师不会只是把数学作为知识来让学生记住，而是教学中把一些数学思想埋进基本的思维过程中。

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