基于上极限的幂级数收敛半径不变性质的证明

李典平

(恩施市施州民族小学，湖北 恩施 445000)

基于上极限的幂级数收敛半径不变性质的证明

李典平

(恩施市施州民族小学，湖北 恩施 445000)

运用上、下极限的理论，建立了数列上极限的2个引理。应用这2个引理，给出了幂级数逐项微分、逐项积分后收敛半径不变的性质定理的一个新证明，新证法较之原方法更为简明。

上极限；幂级数；收敛半径

定理A(D′Alembent比值法) 若：

定理B(Canchy-Adamart公式) 若：

一般而言，定理A使用较方便，但定理B应用范围更广泛。

则有：

上述性质分别得到2个新的幂级数，它们的收敛半径不变，仍为R。在一般的《数学分析》[1]教材中，此性质定理都是运用Abel定理进行证明的。

下面，笔者建立了关于上极限的2个引理，并应用这2个引理给出了上述性质定理的一个新证明方法。

1 引 理

证明由定义，∀ε>0式不妨设εN时，有：

0

(1)

bn

(2)

且存在{bn}的子列{bnk},使得:

0

(3)

结合式(1～3)有：

anbn<(a+ε)(b+ε)=ab+ε(a+b)+ε2

(a-ε)(b-ε)=ab-ε(a+b)+ε2N)

由上级限的性质，有：

引理2是定理B(Canchy-Adamart公式)的逆命题。

2 应 用

关于幂级数在收敛区间内逐项微分、逐项积分后以得新的幂级数收敛半径不变的性质重述如下。

证明仅须考虑R>0的情形，由引理2有：

又由引理1：

再由定理B，即得定理1结论为真。

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.010

O171 2

A

16731409(2012)11N02802