最小二乘法在Pt100参数修正中的应用

周雪琴，熊朝晖，陈 衷

（中国工程物理研究院计量测试中心，四川 绵阳 621900）

0 引言

工业铂电阻温度计稳定性好、可靠性高，广泛应用于-200～850℃的温度测量。我国2011年即将实施的工业铂电阻检定规程[1]中工业铂电阻的电阻-温度特性函数为

式中：Rt、R0——工业铂电阻分别在t、0℃时的电阻值，Ω；

A=3.9083×10-3℃-1；

B=-5.7750×10-7℃-2；

C=-4.1830×10-12℃-4；

常数A、B、C——工业铂电阻的特征参数（CVD系数）。

新、旧规程中，工业铂电阻的检定都是在0℃和100℃展开的。采用对比法[2]，根据温度系数α和铂电阻在以上2个温度时的阻值与固定系数CVD方程之间的偏差判断其合格等级。因采用固定系数的CVD方程以及温度校准点较少，降低了合格铂电阻的测量准确度。在实际应用中，可先在实验室用二等标准铂电阻校准单只工业铂电阻的电阻-温度特征参数，用校准得到的特征方程修正CVD方程[3-5]，提高铂电阻的测温准确度。

1 数学模型

采用四次多项式工业铂电阻的电阻-温度特征函数关系：

式中：w=[α0α1α2α3α4]T——工业铂电阻的待估特征参数；

xn=[1 tntn2tn3tn4]——第n次二等标准铂电阻所测温度值；

Rtn——工业铂电阻第n次实际测量电阻值；

δn——n次的测量误差。

一共有N（N≥5）个测量数据点，将N次测量结果改写为矢量形式：

采用最小二乘算法计算工业铂电阻特征参数[6-8]，选择目标函数[9]：

则wLS满足方程：

该方程也称为正则方程。

当系数矩阵XN受到很小的扰动ΔX时，若引起解向量w很大的变化，则称系数矩阵XN是病态矩阵[10]。条件数就反映了扰动ΔX经系数矩阵的传播之后扩大为解向量的误差程度，是衡量线性方程数值稳定性的一个重要指标。式（6）中系数矩阵XNTXN的条件数为

2 特征参数求解

奇异值分解定理[11]：总存在2个酉矩阵V和U使得XN可以分解为

其中，σ1，σ2，…，σw是数据矩阵 XN的奇异值，σ1≥σ2≥…≥σw≥0，w≤N。将式（8）带入正则方程，可以得到：

则特征参数的LS解为

求得的特征参数是以总体误差平方和最小为原则，在评价修正特征参数对温度测量误差的结果时也应该遵循这个准则。

3 实验方法及结果分析

校准系统装置由1台控温范围-100～300℃的恒温槽、二等标准铂电阻温度计、测温电桥组成。随机选取3只工业铂电阻温度计作为校准对象。

在使用温度范围内选取13个温度校准点Tv，从中选取5、6、7个温度Tm并测出对应的电阻值Rm，计算工业铂电阻温度计特征参数 w=[α0α1α2α3α4]。并利用校准温度点Tv和对应的电阻值Rv评价特征参数对测量准确性的影响。

Tv=[-70，-50，-20，0，50，75，100，125，150，175，200，225，250]

T5=[-70，0，100，150，200]

T6=[-70，0，100，150，200，250]

T7=[-70，-20，0，100，150，200，250]

图1是3只工业铂电阻在13个温度校准点，采用CVD方程和不同校准温度点得到的特征方程估计的温度值与二等标准铂电阻实际测量温度值之间的误差。实验结果表明，随着校准温度点数的增加，用计算得到的特征参数估计温度值，就越能反映测量的真实温度。实际应用过程中，只要在使用温度范围内均匀选取6个温度点校准工业铂电阻的特征参数方程，其温度测量误差可以控制在±0.1℃以内。

工业铂电阻特征参数修正对温度测量误差的影响与校准特征参数的温度点个数有关，它们之间的关系定义为特征参数修正影响因子。首先给出特征参数修正影响因子的定义：

式中：s——校准温度点的个数；

m——验证温度点的个数；

图1 3只工业铂电阻在验证点的测量误差

tjcvd（s）——CVD方程计算的温度值；

从式（11）中可以看出，特征参数修正影响因子直接说明了用SVD方法计算得到的特征参数修正CVD特征方程的效果。当λ（s）的值小于1时，特征参数修正后总体的测量误差在数值上比CVD特征方程的小；λ（s）数值上越小，修正特征参数的效果越明显。表格1是温度校准点个数不同时得到特征参数修正影响因子的值。从表1中可以看出，λ（s）的值均小于1，说明通过对特征参数的修正，有效地减小了CVD特征参数引入的系统误差。

表1 特征参数修正影响因子

4 结束语

采用SVD计算Pt100工业铂电阻的特征参数，分析不同校准数据点数对校准结果的影响。试验结果表明，用6个以上校准温度点计算得到的特征参数代替CVD参数拟合Pt100工业铂电阻在-70～250℃范围内的特征曲线，有效地减小了统一分度公式引入工业铂电阻的系统误差，提高了工业铂电阻的测量准确度。修正特征参数方法是在原有测温系统的基础上运用软件方法提高Pt100工业铂电阻的测温准确度，其方法简单可行。并且只需将拟合方程作相应的修改，就可以运用到其他温度传感器系统误差的修正，如铜热电阻、热敏电阻、热电偶等。

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